Weierstrass-tétel

A Weierstrass-tétel a matematikában az analízis egyik legfontosabb, alapvető tétele. Az egyváltozós valós függvények esetén a legtöbbször alkalmazott alakja az, hogy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek van abszolút maximuma és abszolút minimuma. A tétel tetszőleges korlátos és zárt, azaz kompakt halmazra is érvényes amennyiben Rn-ben maradunk. Általában, Hausdorff-féle topologikus terekben (ahol a korlátos és zárt feltételegyüttes nem esik egybe a kompaktsági kitétellel) a tétel kompakt halmazokra érvényes.[1]

A tételSzerkesztés

Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.

Tehát, ha   korlátos és zárt és   :    R folytonos függvény, akkor létezik olyan  ,   , hogy minden   -re          .

Bizonyítás sorozatkompaktsággalSzerkesztés

Bolzano–Weierstrass-tétellelSzerkesztés

Belátjuk, hogy   (   ) sorozatkompakt, amiből a Bolzano–Weierstrass-tétel közvetlen következményeként adódik, hogy   (   ) korlátos és zárt.

Legyen ( ) egy   (   )-ben haladó sorozat. Belátjuk, hogy van olyan konvergens részsorozata, melynek határértéke szintén   (   ) beli. Minden   természetes számra

 

így a kiválasztási axióma miatt létezik olyan ( ) sorozat, mely  -ben halad és minden   természetes számra   =    . A Bolzano–Weierstrass-tétel miatt ekkor ( )-nek létezik konvergens ( ) részsorozata, melynek határértéke az  -beli   szám. A folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján ekkor az (   ( ) ) sorozat, mely az ( ) részsorozata, konvergens és határértéke az   (   )-beli     szám.

A Bolzano–Darboux-tételből tudjuk, hogy   értékkészlete intervallum. Az előbb beláttuk, hogy ez korlátos és zárt. Mivel így min   (   ) ∈   (   ) és max   (   ) ∈   (   ), azaz a függvény felveszi értékkészletének végpontjait, ezért léteznek olyan   és    -beli számok, hogy

  és
 

Így az állítást beláttuk.

További bizonyításokSzerkesztés

A tétel efféle bizonyítása két lépésben zajlik. Belátjuk, hogy a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény

  1. korlátos – ez a korlátosság tétele
  2. felveszi minimumát és maximumát – ez a szélsőérték tétele vagy a szűkebb értelemben vett Weierstrass-tétel.

Mindkét lemmát többféleképpen is igazolhatjuk.

1. A korlátosság igazolásaSzerkesztés

Heine–Borel-tétellelSzerkesztés

Belátjuk, hogy   korlátos. A folytonosság definíciója miatt minden ε-hoz, például :ε=1-hez és minden x -hez létezik olyan δx pozitív szám, hogy minden   -re, amennyiben   < δx, akkor   < ε.

Vegyük minden  -beli pontnak a δx sugarú nyílt környezetét. Ez a nyílt halmaz rendszer lefedi  -t így a Borel–Lebesgue-tétel miatt ezek közül már véges sok is lefedi  -t. Legyen ez az

 

véges intervallumrendszer. Az   számok között van legkisebb és legnagyobb, legyen ez rendre   és  . Minden   -re létezik i, hogy xIi, így

 

tehát   korlátos.

A felsőhatár axiómávalSzerkesztés

Legyen H a következő halmaz:

 

H nem üres, mert aH, és felülről korlátos, mert   lefedi, így a felsőhatár axióma és [a,b] zártsága miatt létezik sup H ∈ [a,b]. Legyen az a h szám. Állítjuk, hogy h = b. Ha ugyanis h < b állna, akkor minden ξ ∈ [a,b]-re, melyre h < ξ teljesül [a,ξ]-ben f már nem lenne korlátos. Azonban f a h-ban is folytonos, így a h egy alkalmas δ sugarú környezetében korlátos, így [a , h - δ]-ban és [h - δ , h + δ]-ban is, amiből következik, hogy az unióban, [a , h + δ]-ban is, ami ellentmond annak, hogy h a H szuprémuma, hiszen a nála nagyobb h + δ is elem H-nak.

2. A szélsőértéktételSzerkesztés

Az értékkészlet szuprémumtulajdonságávalSzerkesztés

Belátjuk, hogy   felveszi a szuprémumát és infimumát. Nemüres, korlátos valós részhalmaznak van alsó és felső határa. Legyen   értékkészletének felső határa  . Ekkor minden   -re

 

Ha nem lenne   , hogy   =  , akkor a

 

függvény értelmezve lenne a teljes  -n.   folytonos, mert a folytonosságot megőrző függvényműveletekkel lett  -ből elkészítve, de nem korlátos, ami az előző szakasz miatt ellentmondást ad. Minthogy ugyanis   a szuprémum, minden ε pozitív számra létezik   , hogy   - ε <  , de ekkor g(x) > 1/ε, azaz   minden határon túl nő.

KövetkezménySzerkesztés

A Bolzano–Darboux-tétel és a Bolzano–Weierstrass-tétel felhasználásával tehát a Weierstrass-tételt a következő formában is kimondhatjuk:

Tétel – Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvény képe kompakt.

Ezt néha Weierstrass második tételének is nevezik és ez esetben az előző állítás az első számú.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  1. Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 88-89. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8

További információkSzerkesztés