Dirac-egyenlet

A fizikában a Dirac-egyenlet a relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, amit Paul Dirac brit fizikus 1928-ban alkotott meg. Az egyenlet az ½ spinű részecskék (mint az elektron) helyes, relativisztikus (a speciális relativitáselmélettel konzisztens) kvantummechanikai mozgásegyenlete. A Dirac-egyenlet mindenféle bővítés nélkül (mint például a Pauli–Schrödinger-egyenlet) magába foglalja a spint, továbbá jóslatot tesz az antirészecskék létezésére. Dirac az elektron antirészecske-párjának, a pozitronnak a kísérleti kimutatásakor, 1933-ban kapott Nobel-díjat.

Matematikai forma

Dirac eredetileg a következő formában adta meg az egyenletet:

$\left(\beta mc^{2}+\sum _{k=1}^{3}\alpha _{k}p_{k}\,c\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}$

ahol:

m a részecske nyugalmi tömege

c a fénysebesség,

p az impulzus operátora,

$\hbar$ a redukált Planck-állandó,

x és t a tér- és időkoordináták.

Az egyenletben megjelenő további tagok a 4x4-es $\alpha _{k}$ és $\beta$ mátrixok, és $\psi$ a Dirac-spinor (négykomponensű hullámfüggvény). A mátrixok mind hermitikusak (ami mátrixok esetén ugyanaz, minthogy önadjungáltak, továbbá antikommutálnak egymással:

$\alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i},\,$

$\alpha _{i}\beta =-\beta \alpha _{i}\,$

ahol i és j különböző indexek 1-től 3-ig.

Kovariáns alak

A szabad Dirac-egyenlet kovariáns alakja

$i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc\psi =0,$

ahol a kétszer szereplő indexekre (μ = 0, 1, 2, 3) összegzünk, $\partial _{\mu }=({\frac {1}{c}}\partial _{\mu },\nabla )$ a négyesgradiens és $\gamma _{\mu }$ gamma mátrixok vagy Dirac mátrixok. A gamma mátrixok teljesítik a

$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }$

antikommutációs relációt, ahol $\eta ^{\mu \nu }$ a Minkowski-metrika és a $\gamma _{\mu }$ mátrixok Clifford-algebrát alkotnak (Dirac-algebra). A $\gamma _{\mu }$ operátorokat $4\times 4$ mátrixokkal reprezentáljuk. Explicit alakjuk standard ábrázolásban (Dirac ábrázolás)

${\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\quad &\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}}\quad &\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

melyek a Pauli-mátrixok és a 2×2 egységmátrix $I_{2}$ segítségével a következő alakban írhatók bevezetve a $\gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ mátrixot

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.$

Valószínűségi áram megmaradása

Bevezetve a konjugált spinort

${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$,

ahol ψ^† a hullámfüggvény adjungáltja, valamint felhasználva, hogy

$(\gamma ^{\mu })^{\dagger }\gamma ^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\,$,

a Dirac-egyenlet konjugálásával valamint jobbról $\gamma _{0}$-lal való beszorzásával előáll a konjugált Dirac-egyenlet

${\bar {\psi }}(-i\gamma ^{\mu }{\overset {\leftarrow }{\partial _{\mu }}}-m)=0\,$.

A Dirac-egyenletet balról ${\bar {\psi }}$-sal, a konjugált Dirac-egyenletet jobbról $\psi$-vel beszorozva, majd a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy

$\partial _{\mu }\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)=0,$

amely a valószínűségi áramsűrűség megmaradását fejezi ki. A valószínűségi áramsűrűség

$j_{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$,

melynek nulladik komponense a valószínűségi sűrűség

$j^{0}={\bar {\psi }}\gamma ^{0}\psi =\psi ^{\dagger }\psi .$

További információk

• P. A. M. Dirac: Theory of electrons and positrons. www.nobelprize.org (1933. december 12.) (Hozzáférés: 2014. november 20.)