Főmenü megnyitása

A fizikában a Dirac-egyenlet a relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, amit Paul Dirac brit fizikus 1928-ban alkotott meg. Az egyenlet az ½ spinű részecskék (mint az elektron) helyes, relativisztikus (a speciális relativitáselmélettel konzisztens) kvantummechanikai mozgásegyenlete. A Dirac-egyenlet mindenféle bővítés nélkül (mint például a Pauli–Schrödinger-egyenlet) magába foglalja a spint, továbbá jóslatot tesz az antirészecskék létezésére. Dirac az elektron antirészecske-párjának, a pozitronnak a kísérleti kimutatásakor, 1933-ban kapott Nobel-díjat.

Tartalomjegyzék

Matematikai formaSzerkesztés

Dirac eredetileg a következő formában adta meg az egyenletet:

 

ahol:

m a részecske nyugalmi tömege
c a fénysebesség,
p az impulzus operátora,
  a redukált Planck-állandó,
x és t a tér- és időkoordináták.

Az egyenletben megjelenő további tagok a 4x4-es   és   mátrixok, és   a Dirac-spinor (négykomponensű hullámfüggvény). A mátrixok mind hermitikusak (ami mátrixok esetén ugyanaz, minthogy önadjungáltak, továbbá antikommutálnak egymással:

 
 

ahol i és j különböző indexek 1-től 3-ig.

Kovariáns alakSzerkesztés

A szabad Dirac-egyenlet kovariáns alakja

 

ahol a kétszer szereplő indexekre (μ = 0, 1, 2, 3) összegzünk,   a négyesgradiens és   gamma mátrixok vagy Dirac mátrixok. A gamma mátrixok teljesítik a

 

antikommutációs relációt, ahol   a Minkowski-metrika és a   mátrixok Clifford-algebrát alkotnak (Dirac-algebra). A   operátorokat   mátrixokkal reprezentáljuk. Explicit alakjuk standard ábrázolásban (Dirac ábrázolás)

 

melyek a Pauli-mátrixok és a 2×2 egységmátrix   segítségével a következő alakban írhatók bevezetve a   mátrixot

 

Valószínűségi áram megmaradásaSzerkesztés

Bevezetve a konjugált spinort

 ,

ahol ψ a hullámfüggvény adjungáltja, valamint felhasználva, hogy

 ,

a Dirac-egyenlet konjugálásával valamint jobbról  -lal való beszorzásával előáll a konjugált Dirac-egyenlet

 .

A Dirac-egyenletet balról  -sal, a konjugált Dirac-egyenletet jobbról  -vel beszorozva, majd a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy

 

amely a valószínűségi áramsűrűség megmaradását fejezi ki. A valószínűségi áramsűrűség

 ,

melynek nulladik komponense a valószínűségi sűrűség

 

További információkSzerkesztés