Grassmann-szám

A matematikai fizikában a Grassmann-szám (hívják antikommutáló számnak is) egy $\theta _{i}$ mennyiség, amelyik antikommutál más Grassmann-számokkal, de kommutál rendes $x_{j}$ számokal,

$\theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x_{j}=x_{j}\theta _{i}.$

A fentiek miatt bármely Grassmann-szám négyzete eltűnik:

$\theta _{i}\theta _{i}=0.\,$

A Grassmann-számok egy halmaza által generált algebra neve Grassmann-algebra (vagy külső algebra). n, lineárisan független Grassmann-szám által generált Grassmann-algebra dimenziója 2ⁿ. Ezek a fogalmak mind Hermann Grassmannról kapták a nevüket.

A Grassmann-algebrák a szuperkommutatív algebrák prototípusai. Ezek páros és páratlan változókra széteső algebrák, ahol a páros elemek kommutálnak, a páratlanok pedig antikommutálnak.

Mátrix reprezentáció

A Grassmann-számokat mindig reprezentálhatjuk mátrixokkal. Tekintsük például a két Grassmann-szám ($\theta _{1}$ és $\theta _{2}$) által generált Grassmann-algebrát

Ezek a Grassmann-számok 4×4-es mátrixokkal reprezentálhatók:

$\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{bmatrix}}$

Általában egy n generátoron alapuló Grassmann-algebra 2ⁿ × 2ⁿ-es mátrixokkal reprezentálható. Fizikai értelemben, ezekre a mátrixokra gondolhatunk úgy, mint Hilbert-téren ható keltő operátorokra n azonos fermionnal a betöltési állapotban.

Minden fermion betöltési száma 0 vagy 1, 2ⁿ számú betöltési állapot lehetséges. Matematikailag ezek a mátrixok tekinthetők olyan lineáris operátoroknak, amelyek bal külső szorzásnak felelnek meg a Grassmann-algebrán magán.

Alkalmazások

A kvantumtérelméletben Grassmann-számokat használnak a fermionmezők útintegráljának definiálására. A Berezin-integrálokat szintén Grassmann-számokon definiálják.

A Grassmann-számok alapvetőek a szupertér (lásd szuperszimmetria) definiálásakor, ahol antikommutáló koordináták szerepét játsszák.