Főmenü megnyitása

A kvantummechanikában a kanonikus kvantálás egy matematikai módszer, amely a klasszikus dinamikai rendszerek Hamilton-formalizmusáról a kvantumelméletben alkalmazott operátor-formalizmusra való áttérést valósítja meg, így a fizikai mennyiségeket operátorokkal helyettesítjük.

Tartalomjegyzék

Szemléltetése egy példávalSzerkesztés

A kvantumelmélet egy nevezetes axiómája – a korrespondencia-elv – szerint a klasszikus mechanika és a kvantummechanika alapelvei egymással bizonyos mértékig korrelálnak. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a jelenségek azon körére, melyeket a klasszikus fizika kellő pontossággal tárgyalni képes, a kvantummechanikán belül is tárgyalható, bár esetleg más formalizmussal.

Példaképpen tekintsük egy atomi spektrumot, melynek vonalait, megoldásait keressük. A kvantummechanikai tárgyalásmód alapján egy n és m kvantumszámmal meghatározott atomi elektronállapotok közti átmenetkor létrejövő sugárzás frekvenciáját az   határozza meg. A Bohr-modellben az elektron L impulzusmomentuma állandó, ennek nagyságát az   összefüggés határozza meg. Ezt Arnold Sommerfeld rezgő mozgásokra általánosította, és erre a   összefüggést adta meg.

A korrespondencia-elv alapján az mondható, hogy a fentebb definiált frekvenciák adott feltételek mellett közelítőleg egybeesnek a klasszikus frekvenciákkal. Nézzünk egy klasszikus kanonikus fizikai mennyiségpárt, erre érvényes, hogy   . Rendeljünk ehhez egy olyan   operátorpárt, amely a Hilbert-térben megfelel a felcserélési relációnak. Mivel a Hilbert-tér operátorai egymással rendszerint nem felcserélhetők, a kommutátoruk nem lesz nulla. Ekkor a következő írható fel:

 .

Azon fizikai mennyiségek, melyek operátorai nem kommutálnak, nem mérhetők tetszőleges pontossággal. Ezt mondja ki Heisenberg határozatlansági elve is. Követve ezt a gondolatmenetet, tekintsük a   operátorpárt, amelyet hozzárendelünk a Hamilton-függvényhez. Ezt gyakorlatilag minden dinamikai mennyiséggel megtehetünk (hermitikus operátorok). Ha   operátora   és ennek adjungáltja  , akkor azt írhatjuk, hogy: .

A rendszer   kvantumállapotát t időpontban a Schrödinger-egyenlet írja le, azaz

 .

A   értékét kezdeti feltételek határozzák meg. A fentiek értelmében a kvantumelméletben – éppúgy, mint a klasszikus értelmezésben – a rendszer fizikai állapotának időfejlődését a Hamilton-függvény határozza meg.

Kanonikus kvantálás a térelméletbenSzerkesztés

A kanonikus kvantálás a térelméletben a kvantummechanikai axiómák klasszikus térelméletben való alkalmazásával adható meg. Egy   skalártérre, ha a Lagrange-sűrűség  , akkor a kanonikus impulzus: .

Nemrelativisztikus terek esetén – követve a kvantálási szabályokat – végső soron egy sokrészecskés Hilbert-tér jön létre. Ennek okán a téroperátor kiterjeszthető egy normált síkhullám megoldáshalmazára. Ekkor felírható, hogy  . Megfigyelhető, hogy az egyenlet jobb oldala részecskekeltő és eltüntető operátorokat is magában foglal. Ez annak tudható be, hogy a tér- és impulzus operátor kvantálása hermitikus operátorokat képez (ez azt jelenti, hogy  ). Behelyettesítve   és   helyére az explicit hullámfüggvényeket a következő kifejezést kapjuk:

 

A fenti kifejezések a Hilbert-tér szabad részecskéire teljes kifejezés.

ForrásokSzerkesztés

  • Kleinert, Hagen. Particles and quantum fields. Singapore Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd (2016). ISBN 978-981-4740-89-0 
  • W. Greiner and J. Reinhardt: Quantum Electrodynamics, Springer, Berlin, 2008.
  • Nagy, Károly. Kvantummechanika : egyetemi tankönyv (hu nyelven). Budapest: Nemzeti Tankönyvkiado (2000). ISBN 963-19-1127-6 
  • Sailer Kornél: Bevezetés a kvantummechanikába Debreceni Egyetem, Elméleti Fizikai Tanszék (2008)

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés