Maxwell–Boltzmann-eloszlás

A Maxwell–Boltzmann-eloszlás gázokban lévő részecskék sebességéről szól, ahol a részecskék között nincs állandó kölcsönhatás, szabadon mozognak rövid ütközések között. Speciális esete a Boltzmann-eloszlásnak.

A részecskék átlagos sebességét írja le (a sebességvektor nagyságrendjét) a rendszer hőmérsékletének függvényében. James Clerk Maxwellről és Ludwig Boltzmannról nevezték el.

Többnyire azt gondolják a Maxwell–Boltzmann-eloszlásról, hogy az csak a molekuláris sebességekről szól, de vonatkozik a sebességek eloszlására, a nyomatékokra, a molekulák momentumának nagyságrendjére, és mindezek különböző eloszlási valószínűségére is.

Ez a szócikk a sebességek eloszlásáról szól.


Az eloszlásban háromdimenziós vektorok szerepelnek, melyek komponensei függetlenek és normális eloszlásúak '0' középértékkel és a szórással.

Ha eloszlása , akkor

a Maxwell–Boltzmann-eloszlást követi paraméterrel. Az paramétertől eltekintve az eloszlás azonos a 3 szabadságfokú khí-eloszlással.

AlkalmazásSzerkesztés

A Maxwell–Boltzmann-eloszlást a termodinamikai egyensúly közelében lévő ideális gázokra alkalmazzák nemrelativisztikus sebességeken, ahol a kvantummechanikai hatás elhanyagolható.

A kinetikus gázelmélet alapjául szolgál, megmagyarázza a gázok alapvető tulajdonságait, mint például a nyomást és a diffúziót.

LevezetésSzerkesztés

Maxwell levezetésében eredetileg a három irány egyenlő mértékben szerepelt, de később Boltzmann elhagyta ezt a feltételezést és a kinetikus elméletet használta.

Az energiákat tekintve a Maxwell–Boltzmann-eloszlás leginkább a Boltzmann-eloszlásból ered:

 

ahol:

  • i a mikroállapot
  • Ei az i mikroállapot energia szintje
  • T a rendszer egyensúlyi hőmérséklete
  • gi az a tényező, mely az azonos energiaállapotban lévő mikroállapotok számát jelzi.
  • k a Boltzmann-állandó
  • Ni az egyensúlyi T hőmérsékleten a molekulák száma az i állapotban (kvantumállapotok hasonló energia állapotokban).
  • N a molekulák teljes száma

A fenti egyenletet néha gi degenerációs tényező nélkül írják fel. Ez esetben az “i” index egy egyedi állapotot specifikál a gi állapotok helyett, melyek hasonló Ei energiával rendelkeznek.

Kapcsolatot teremt az energia a és a részecskék hőmérséklete között.

Ebben az egyenletben a nevezőt úgy ismerik, mint a kanonikus partíciós függvény.

Az impulzusvektor eloszlásaSzerkesztés

Ez a levezetés nagyban különbözik Maxwell azon levezetésétől, amit később Boltzmann kiegészített. Ez Boltzmann 1877-es megközelítéséhez áll közel. Arra az esetre, amikor az ideális gáz alaphelyzetben olyan atomokat tartalmaz, melyek nincsenek egymással kölcsönhatásban, minden energia kinetikus energia formában van jelen és a gi, állandó minden i-re. A kinetikus energia és a lendület közötti kapcsolat részecskékre:

 

ahol p² az impulzusvektor négyzete p = [pxpypz]. Ekkor átírhatjuk a (1) egyenletet:

 

Ahol Z a partíció függvény, az (1) egyenlet nevezője. Az “m” a gáz molekuláris tömege, “T” a termodinamikus hőmérséklet és “k” a Boltzmann-állandó. Ni/N eloszlás arányos a fp sűrűségfüggvénnyel:

 

A c normalizáló állandó meghatározásánál figyelembe veendő, hogy 1 annak a valószínűsége, hogy bármely molekulának van impulzusa. Ezért a (4) egyenlet integráljának minden px, py és pz-re 1-nek kell lennie.

 

Az (5) egyenletet behelyettesítve a (4) egyenletbe:

 

Látható, hogy az eloszlás három független, normális eloszlású változó,  ,   és   szorzata,   szórásnégyzettel. Ráadásul látható, hogy a momentum nagyságrendjének eloszlása megfelel a Maxwell–Boltzmann-eloszlásnak,   mellett. Az impulzus Maxwell–Boltzmann-eloszlása alapvetően megkapható a H-elmélet felhasználásával egyensúlyi állapotban a kinetikus elmélet keretein belül.

EnergiaeloszlásSzerkesztés

p² = 2mE esetén, az energia eloszlása:

 

Mivel az energia arányos a három normális eloszlású impulzuskomponens négyzetével, ez az eloszlás a gamma-eloszlás, és a khí-négyzet eloszlás harmadfokú szabadságfokkal. Az ekvipartíció-tétel szerint, ez az energia egyenletesen oszlik el a három szabadságfok között, így az egy szabadságfokra jutó energia a khí-négyzet eloszlás szerint oszlik el, egy szabadságfokkal:[1]

 

ahol   egy szabadságfokra jutó energia. Egyensúlyi állapotban az eloszlás igaz bármely számú szabadságfokra. Például, ha a részecskék merev dipólusok, három transzlációs szabadságfokkal és kettő járulékos körforgó szabadságfokkal rendelkeznek. Minden egyes szabadságfok energiája a fent említett khí-négyzet eloszlással írható le és a teljes energia a khí-négyzet eloszlással írható le öt szabadságfokkal. Ennek hatása van a gázok hőkapacitás elméletére.

Sebességvektor-eloszlásSzerkesztés

A sebességvektor valószínűségi sűrűsége fv arányos az impulzus valószínűségi sűrűségfüggvényével:

 

és ha p = mv , akkor

 

mely a Maxwell–Boltzmann-sebességvektor eloszlása.

Látni kell, hogy a Maxwell-Boltzmann sebességvektor-eloszlás a [vxvyvz] sebességvektorokra az eloszlások szorzata mindhárom irányra:

 

Ahol minden egyes irányra az eloszlás:

 

A sebességvektor minden komponense normális eloszlású   középértékkel és a szórás   így a vektornak egy háromdimenziós normál eloszlása van, ‘multinormál’ eloszlásnak is hívják,   középértékkel és   szórással.

A sebességeloszlásSzerkesztés

A sebesség itt skaláris mennyiség.

 
Maxwell-Boltzmann molekuláris sebességeloszlás

Az ábra néhány nemesgáz sebességének valószínűségi sűrűségfüggvényét ábrázolja 25 °C hőmérsékleten. Az y tengelyen s/m a paraméter, így a görbe alatti terület dimenzió nélküli. Általában a molekulák sebessége érdekel bennünket és nem a komponenseinek vektorai. A Maxwell–Boltzmann-eloszlás a sebességvektor eloszlásából következik. A sebesség:

 

és a térfogat növekménye:

 

ahol a   és a   a vektor azimut és útszög (a vektor eltérési szöge) jellemzői. A normál valószínűségi sűrűségfüggvény integrálása, a sebesség behelyettesítve a vektorkomponensek négyzetének összegével, adja a valószínűségi sűrűségfüggvényt a sebességre:

 

Ez az egyenlet egyszerűen a Maxwell-eloszlás   szórásparaméterrel.[2]

Rendszerint sokkal jobban érdekel bennünket a részecskék átlagos sebessége, mint az aktuális eloszlásuk. Az átlagos sebesség, a legvalószínűbb sebesség a Maxwell-eloszlásból számítható.

A tipikus sebességekSzerkesztés

A gyakorlatban az eloszlásnál érdekesebb lehet az átlagos sebesség.

A leginkább valószínű sebesség vp, az a sebesség, melyet bármely molekula leginkább felvesz (azonos tömeg esetén) és mely megfelel a f(v) maximum értékének. Ehhez a   egyenletet kell megoldani v-re:

 

Ahol R a gázállandó és M = NA, m az anyag moláris tömege. A kétatomos nitrogén esetében (N2,mely a levegő fő komponense) szobahőmérsékleten:  m/s Az átlagos sebesség a sebességeloszlás matematikai átlaga:

 

A vrms effektív sebesség az átlagos sebesség négyzetgyöke:

 

A tipikus sebességek viszonya:

 

A relatív sebesség eloszlásaSzerkesztés

A relatív sebesség:  , ahol   a legvalószínűbb sebesség. Arelatív sebességeloszlás ismerete lehetővé teszi különböző gázok összehasonlítását függetlenül a hőmérséklettől és a molekuláris súlytól.

 
Maxwell-Juttner sebességeloszlás elektrongázra, különböző hőmérsékleteken

Amikor a gáz forrósódik és a kT közelít vagy meghaladja a mc²-t a   valószínűségi eloszlása a relativisztikus maxwelli gáznál a Maxwell–Juttner-eloszlás szerint:[3]

 

ahol:     és a   a módosított másodrendű Bessel-függvény.

Az impulzussal kifejezve:

 

Ahol:  .

A Maxwell–Juttner egyenlet kovariáns.[4]

További információkSzerkesztés

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  1. Statistical thermodynamics: fundamentals and applications. Cambridge University Press, 434. o. (2005). ISBN 0-521-84635-8 , Appendix N, page 434
  2. http://mathworld.wolfram.com/MaxwellDistribution.html Archiválva 2007. február 21-i dátummal a Wayback Machine-ben Maxwell distribution
  3. Synge, J.L. The Relativistic Gas, Series in physics. North-Holland. Sablon:LCCN (1957) 
  4. (2009) „On the Manifestly Covariant Juttner Distribution and Equipartition Theorem”. arXiv:0910.1625v1. (Hozzáférés ideje: 2011. október 22.)