Főmenü megnyitása

A valószínűségszámítás elméletében, és a statisztika területén a Rayleigh-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.

A Rayleigh-eloszlás gyakran megfigyelhető, amikor egy vektor nagyságrendje kapcsolatban van az irány komponenseivel.

Egy tipikus példa a Rayleigh-eloszlásra, mely a természetben is megfigyelhető, amikor a szél sebességét analizálják az ortogonális kétdimenziós vektor komponensei szerint. Feltételezve, hogy a komponenseknek nincs korrelációjuk egymással, és normális eloszlásúak, hasonló szórásnégyzettel, akkor a szél sebességét a Rayleigh-eloszlás jellemzi.

Egy következő példa az algebrából: véletlenszerű komplex számok esetében, ahol a valós és imaginárius komponensek függetlenek és azonos eloszlásúak. Ebben az esetben a komplex szám abszolút értéke Rayleigh-eloszlású.

Az eloszlást felfedezőjéről, John William Strutt-ról, Rayleigh III. lordjáról nevezték el.

A Rayleigh-féle valószínűségsűrűség-függvény:

ahol és a kumulatív eloszlás függvény:

ahol

Tartalomjegyzék

TulajdonságokSzerkesztés

 
A Rayleigh-eloszlás sűrűségfüggvénye
 
Rayleigh-féle kumulatív eloszlásfüggvény

A nyers momentum:

 

ahol   a gamma függvény. A Rayleigh-féle valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:

 

és

 
 

A ferdeség:

 

A többlet lapultság:

 

A karakterisztikus függvény:

 

ahol   a képzetes hibafüggvény.

A momentum-generáló függvény:

 

ahol   a hibafüggvény.

Információ entrópiaSzerkesztés

Az információ entrópia, vagyis a Shannon-entrópiafüggvény:  

ahol   az Euler–Mascheroni állandó.

Paraméter becslésSzerkesztés

N darab független és azonos eloszlású Rayleigh-eloszlású valószínűségi változó esetén a   maximális valószínűsége:

 

A   értékének becslése az MRI képalkotó technikában is használatos, ahol az MRI képelemek komplex alkotókból állnak, és a háttér adat Rayleigh-eloszlású. A fenti összefüggés segítségével megbecsülhető a hiba szórás a MRI háttér adatokból.[1][2]

Rayleigh-eloszlású valószínűségi változók generálásaSzerkesztés

Ha adva van egy állandó eloszlásból származó U valószínűségi változó, (0, 1) tartományban, akkor a valószínűségi változó:

 

Rayleigh-eloszlású lesz   paraméterrel. Ez a kumulatív eloszlás függvényből következik. Ha U egységes (uniformizált), (1–U)-nak is hasonló tulajdonsága lesz, a fenti összefüggés egyszerűsíthető:

 

Megjegyzés: ha véletlen számokat generálunk [0,1) tartományban, a zérót kizárjuk, hogy elkerüljük a zéró természetes logaritmusát.

Kapcsolódó eloszlásokSzerkesztés

  • Ha   Rayleigh-eloszlású, akkor  , ahol  , és   független normál valószínűségi változók.(Ez teszi lehetővé a   szimbólum alkalmazását a fenti Rayleigh-sűrűségfüggvény parametrizálásánál.
  • Ha  , akkor   khí-négyzet eloszlású. két szabadságfokkal:  
  • Ha X exponenciális eloszlású , akkor  , then  .
  • Ha  , akkor   gamma-eloszlású,   and  :   paraméterekkel.
  • A Khí-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
  • A Rice-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
  • A Weibull-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása. Ez esetben a sigma paraméter kapcsolódik a Weibull-skálaparaméterhez  :

 .

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés