Főmenü megnyitása

Rouché tétele a komplex függvénytan egy tétele. Arról tesz kijelentést, hogy milyen függvényekkel lehet módosítani egy holomorf függvényt ahhoz, hogy a nullhelyek száma ne változzon. A meromorf függvényekre vonatkozó kiterjesztése a nullhelyek és a pólushelyek különbségéről tesz hasonló kijelentést.

Geometriai megjelenítésSzerkesztés

 
Mivel a görbék közötti távolság kicsi, h(z) pontosan egyszer fordul körbe, ahogy f(z) is

A tételt jobban megmutatja egy informális, geometriai megjelenítés.

Legyen C egyszerű zárt görbe (nem önátmetsző). Legyen h(z) = f(z) + g(z). Ha f és g holomorfak C belsejében, akkor h-nak is holomorfnak kell lennie C belsejében. Ekkor a tétel azt állítja, hogy:

Ha |f(z)| > |h(z) − f(z)|, minden C-beli z-re, akkor f és h zérushelyeinek száma megegyezik C belsejében.

Jegyezzük meg, hogy az |f(z)| > |h(z) − f(z)| feltétel azt jelenti, hogy minden z-re f(z) távolsága a nullától nagyobb, mint h(z) − f(z) hossza, ami azt jelenti, hogy az ábrán a kék görbe minden pontjára az onnan nullához húzott vonal hosszabb, mint a hozzá asszociált zöld szakasz. Informálisan, a kék f(z) görbe közelebb van a piros h(z) görbéhez, mint a nullához.

Az előzőek szerint h(z) pontosan annyiszor kerüli meg az origót, mint f(z). Ezért a görbék nulla körüli indexe ugyanaz, így az argumentumelv alapján f(z) és h(z) nullhelyeinek számának meg kell egyeznie.

Ennek egy népszerű megfogalmazása a kutya meg a fája. A kutya póráza mindig rövidebb, mint a gazda távolsága a fától. Ekkor a kutya ugyanannyiszor kerüli meg a fát, mint a gazdája.

Állítás holomorf függvényekreSzerkesztés

Legyenek az   függvények holomorfak a   tartományon. Legyen továbbá   a határával együtt G része, és a   peremen teljesüljön, hogy:

 .

Ekkor   és   nullhelyeinek száma multiplicitással megegyezik a   körlapon. Ahol   a   közepű, r sugarú körlap.

Szimmetrikus változatSzerkesztés

Az   holomorf függvények nullhelyeinek száma megegyezik a folytonos peremű  ,   korlátos tartományon, ha a peremen teljesül a

 

szigorú háromszög-egyenlőtlenség. Theodor Estermann ezt az általánosabb alakot először Complex Numbers and Functions könyvében szerepeltette.

Polinomok gyökkorlátjaSzerkesztés

A tétel egyik alkalmazása gyökkorlát meghatározása polinomokra. Legyen   komplex együtthatós polinom. Ez holomorf a teljes  -n, tehát legyen  . Legyen   egy index, amire megoldható az

 

egyenlőtlenség legalább egy   valós számra. Ekkor az   és a   függvények teljesítik Rouché tételének feltételeit a B(0,r) körlapra. f különbözik nullától, és pontosan egy k-szoros gyöke van nullában. Következik, hogy a p=f+g polinomnak is multiplicitással számolva k gyöke van a B(0,r) körlapon.

Meromorf függvényekreSzerkesztés

Legyenek az   függvények meromorfak a   tartományon, és legyen   úgy, hogy  -nek ne legyen pólusa vagy nullhelye a körlap   határán; továbbá minden   komplex számra teljesüljön, hogy:

 .

Ekkor   és   esetén megegyezik a nullhelyek száma - pólushelyek száma különbség.

Bizonyítás meromorf függvényekreSzerkesztés

Legyen  . A feltételek szerint:

 .

Mivel a körvonal kompakt, van neki egy   környezete, amiben az egyenlőtlenség teljesül. Az f/g függvény értékeit B(0,1)-ből veszi fel, ezért:

 .

A nyílt   körlapon értelmezve van a logaritmus holomorf főága, és:

 .

Tekintsük most a következő intervallumot:

 .

Az integrandusnak van primitív függvénye, tehát:

 .

Az argumentumelv szerint a reziduumtétel kiterjesztése is teljesül:

 

ahol   az   függvény nullhelyeinek számát jelenti  -ben, és     pólushelyeinek számát  -ben. Tehát:

  bzw.  

ForrásSzerkesztés

Halász Gábor: Bevezetés a komplex függvénytanba

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Satz von Rouché című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rouché's theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.