Valós számok

A valós számok halmaza és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ez a Birkhoff-féle "vonalzó"-axióma. A valós számok halmaza végtelen, hisz tartalmazza a szintén végtelen számú természetes, egész és tört számokat, tehát összességében a racionális számok halmazának és az irracionális számok halmazának unióját jelenti. Az irracionális számok definíciója szerint nincs olyan szám, amely egyszerre racionális és irracionális lenne, és a két halmaz elemein kívül más nem tartozik a valós számokhoz. (Vannak viszont számok, amelyek se racionális se irracionális számok, mert nem valós számok, a nagyságuk nem meghatározható a valós számegyenesen vett rendezéssel a 0-hoz képest, tehát nem 0, nem is pozitív és nem is negatív számok. Például a nem valós komplex számok.) A valós számokat a tizedestörtekkel azonosíthatjuk: a véges valamint a végtelen szakaszosan ismétlődő tizedestörtek a racionális számoknak, míg a végtelen, szakaszosan nem ismétlődő tizedestörtek az irracionális számoknak felelnek meg.

A számhalmaz létrehozásában alapvető volt a görögök felfedezése, miszerint kettőnek a négyzetgyöke (a négyzetátló hosszának mérőszáma) nem racionális szám, bár pontos, matematikailag kielégítő definícióra a 19. századig kellett várni.

A Birkhoff-féle "vonalzó"-axióma miatt a valós számok halmaza alkalmas folytonos problémák megoldására. Ugyan a racionális számok halmaza is összefüggő, de nem teljes, azaz vannak racionális számokból álló sorozatok, melyek határértéke irracionális. Folytonos problémák esetén a közelítő megoldások egy valóban létező megoldást közelítenek. Ezt az elvet sokoldalúan alkalmazzák az analízisben, a geometriában és a topológiában. A hosszakat, felszíneket, felületeket, térfogatokat szintén emiatt definiálják valós számokként, és nemcsak a kör meg a gömb miatt. A tapasztalati tudományokban is megmarad ez az elv.

A valós számok halmazának matematikai jele ℝ, TeXben \R ($\mathbb {R}$), Unicode karakterkódja U+211D. A betű a latin realis szóból származik, ami valósat, valóságosat jelent.

Valós számok bevezetése

Valós számok megalkotása

A valós számok megalkotása a racionális számokból a 19. századi matematika fontos lépése volt, mivel lehetővé tette az analízis szilárd alapját. Az első pontos konstrukció Karl Weierstrasstól származik. Ez korlátos sorozatokat használ a valós számok definiálásához.

A ma használt konstrukciók:

• Dedekind-szeletek: Racionális számok felülről korlátos részhalmazainak legkisebb felső korlátaiként definiálja a valós számokat.
• Cauchy-sorozatok ekvivalenciaosztályai: Ez a konstrukció Georg Cantortól származik. Két Cauchy-sorozat ekvivalens, ha megfelelő tagjaik különbsége a nullához tart. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban ekvivalencia, és megállapítható, hogy a racionális számok által indukált összeadás és kivonás jóldefiniált. Ezekkel a műveletekkel a valós számok testet alkotnak. A racionális számok indukálnak egy teljes rendezést is, amivel a valós számok halmaza rendezett test.
• Racionális intervallumok egymásba skatulyázott sorozatainak ekvivalenciaosztályai.
• A racionális számok, mint topologikus csoport teljessé tétele abban az értelemben, mint kanonikus uniform struktúra.

Mindezek a módszerek teljessé teszik a racionális számokat, és izomorfia erejéig ugyanahhoz a struktúrához vezetnek, a valós számok testéhez. Mindegyik módszer a racionális és a valós számok más-más tulajdonságaira és kapcsolatára világítanak rá:

• A Dedekind-szeletek módszeréből azonnal látszik a teljes rendezés, a sűrűség és az, hogy minden felülről korlátos halmaznak van legkisebb felső korlátja.
• A Cauchy-sorozatok metrikus térként topológiailag teszik teljessé a racionális számokat. Ezzel azonnal látható, hogy a racionális számok sűrűek a valós számok között, és minden Cauchy-sorozatnak van határértéke. Ez a módszer több más matematikai struktúra esetén is alkalmazható.
• Az intervallumskatulyázás a valós számok kiszámítását követi, és azt mutatja, hogy egy valós szám tetszőlegesen közelíthető racionális számokkal. A tetszőleges pontosságú közelítés bizonyítja egy valós határérték létezését.
• Az uniform struktúraként való teljessé tétel egy általánosabb módszer, aminek alkalmazásához sem rendezésre, sem távolságfogalomra nincs szükség.

Axiomatikus megközelítés

A valós számok egy modelljének nevezzük azt az R halmazt, amely tartalmaz két elemet (0 és 1), értelmezünk rajta két bináris műveletet ($+$ és $\cdot$, összeadás és szorzás) és egy bináris relációt (≤), valamint ezek kielégítik a következő tulajdonságokat:

1. $(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ testet alkot, azaz $\forall x,y,z\in \mathbb {R}$:
   • Asszociativitás: $x+(y+z)=(x+y)+z$ és $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$
   • Kommutativitás: $x+y=y+x$ és $x\cdot y=y\cdot x$
   • A szorzás disztributív az összeadásra nézve: $x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)$
   • Additív semleges elem, a nullelem létezése: $x+0=x$
   • Multiplikatív semleges elem, az egységelem létezése: $x\cdot 1=x$
   • Additív inverz létezése: $x+(-x)=0$
   • Multiplikatív inverz létezése: ha $x\neq 0$, akkor $x\cdot x^{-1}=1$
   • $0\neq 1$
2. R-en teljes rendezés ≤, azaz minden $\forall x,y,z\in \mathbb {R}$:
   • Reflexivitás: x ≤ x
   • Antiszimmetria: ha x ≤ y és y ≤ x, akkor x = y
   • Tranzitivitás: ha x ≤ y és y ≤ z, akkor x ≤ z
   • Teljesség: x ≤ y vagy y ≤ x
3. Az összeadás és a szorzás kompatibilis a rendezéssel, azaz minden x, y, z-re az R-ből:
   • Ha x ≤ y, akkor x + z ≤ y + z
   • Ha 0 ≤ x és 0 ≤ y, akkor 0 ≤ x*y
4. Minden nem üres részhalmazának ha van felső korlátja R-ben, akkor van legkisebb felső korlátja (szuprémuma) is R-ben.

Az utolsó tulajdonság fontos, mivel az különbözteti meg például a racionális számok halmazától, mivel az a halmaz, amelynek az elemeinek négyzete kisebb kettőnél, rendelkezik racionális felső korláttal (2 például ilyen), de a legkisebb felső korlátja (a gyök kettő) nem eleme a halmaznak.

A valós számok egy ekvivalens axiómarendszere a "ha van felső korlát, akkor szuprémum is van" helyett az arkhimédeszi axiómát és a Cantor-axiómát választja. Ezzel egyes tételek bizonyítása könnyebb:

1. Arkhimédeszi axióma: minden valós számhoz található nála nagyobb természetes szám.
2. Cantor-axióma: egymásba skatulyázott zárt intervallumoknak van közös pontja.

Ezekkel a tulajdonságokkal kimutatható, hogy bármely két modell ami ezeket kielégíti, izomorf.

Az axiómarendszerek közvetlen következményei

• A két axiómarendszer ekvivalenciája
• Alulról korlátos halmaznak van infimuma, azaz legnagyobb alsó korlátja
• Ha egy sorozat monoton nő és felülről korlátos, akkor konvergens. Hasonlóan, egy alulról korlátos monoton csökkenő sorozat is konvergens. A kettőt összetéve kapjuk, hogy ha egy monoton sorozat korlátos, akkor konvergens
• konvergens sorozat határértéke egyértelmű

További ekvivalens axiómarendszerek

A szuprémumaxióma helyett ekvivalensen a következők is választhatók:

• Az arkhimédészi axióma és az intervallumskatulyázási axióma, amely szerint tetszőleges egymásba skatuyázott korlátos zárt intervallumok metszete nem üres.
• Az infimumaxióma, ami azt állítja, hogy minden nemüres, alulról korlátos részhalmaznak van legnagyobb alsó korlátja.
• A Heine-Borel-axióma, mely szerint hogyha egy zárt, korlátos sorozatot akárhány nyílt intervallum fed le, kiválasztható véges sok, melyek szintén fednek.
• A Bolzano-Weierstraß-axióma, ami azt mondja, hogy minden korlátos végtelen halmaznak van torlódási pontja.
• A monotonitási axióma, hogy minden korlátos monoton sorozat korlátos.
• Az összefüggőségi axióma, miszerint a valós számok a szokásos topológiával összefüggő teret alkotnak.

A teljességet a folytonos függvények bevezetésével is le lehet írni:

• A középérték-axióma: A valós számok egy szakaszán folytonos valós függvény felveszi a két szélső érték közötti összes értéket.
• A korlátossági axióma: Korlátos zárt intervallumon definiált valós függvény értékkészlete felülről korlátos.
• A maximumaxióma: Korlátos zárt intervallumon definiált valós függvény felveszi maximumát.

Nevezetes részhalmazok

A valós számok gyakran használt részhalmazai:

• Racionális számok: $\mathbb {Q} =\left\{\dots ,-{\tfrac {2}{1}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{1}},0,{\tfrac {1}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{1}},{\tfrac {1}{3}},\dots \right\}=\left.\left\{{\tfrac {p}{q}}\right|p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \setminus \{0\}\right\}$
• Egész számok: $\mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$.
• Természetes számok: $\mathbb {N}$ (a 0 nélkül): $\{1,2,3,\dots \}$ vagy (a 0 számmal): $\{0,1,2,3,\dots \}$ (úgy is, mint $\mathbb {N} _{0}$).
• Irracionális számok: $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$, azok a valós számok, melyek nem racionálisak.
• Algebrai számok: A racionális számok és az algebrai irracionális számok.
• Transzcendens számok: Nem algebrai irracionális számok.
• Kiszámítható és nem kiszámítható számok.

Racionálisak azok a számok, melyek előállnak két egész szám hányadosaként. Egy szám irracionális, ha valós, és nem írható fel két egész szám hányadosaként. Az irracionális számokat a pitagoreusok fedezték fel. Ilyenek például a nem négyzetszám egészek négyzetgyökei, a nem köbszám egészek köbgyökei, satöbbi. Példák: ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt[{3}]{7}}$ vagy ${\sqrt[{5}]{6}}4$.

Az algebrai számok egész együtthatós polinomok gyökei; vagyis van egy egész együtthatós polinom, melybe behelyettesítve a számot a polinom értéke nulla. Igazából gyakrabban tekintenek az algebrai számokra a komplex számok részhalmazaként, mivel ezeknek a polinomoknak komplex gyökeik is vannak. Algebraiak a gyökkifejezések, például az $n\in \mathbb {N}$-edik gyökök és véges összegeik, de nemcsak ezek, hiszen a negyediknél magasabb fokú polinomok nem oldhatók meg gyökjelekkel.

A transzcendens számok az algebrai számok komplementer halmaza. Minden transzcendens szám irracionális. A legismertebb transzcendens számok a $\pi$ és az $e$. Mindezek a számok kiszámíthatóak, szemben a nem kiszámítható számokkal, mint egy Specker-sorozat határértéke.

További gyakran használt jelölések: Ha $a\in \mathbb {R}$, akkor

$\mathbb {R} ^{\neq a}=\mathbb {R} \setminus \{a\}$ az összes valós szám, kivéve a,

$\mathbb {R} ^{\geq a}=\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a\},$

$\mathbb {R} ^{>a}=\{x\in \mathbb {R} \mid x>a\},$

$\mathbb {R} ^{\leq a}=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq a\},$

$\mathbb {R} ^{<a}=\{x\in \mathbb {R} \mid x<a\}.$

Speciálisan, ha $a=0$, akkor $\mathbb {R} ^{>0}$ a pozitív valós számok, $\mathbb {R} ^{\geq 0}$ a nemnegatív valós számok. Ezekben az esetekben használják még a $\mathbb {R} ^{+}$ és a $\mathbb {R} _{0}^{+}$ jelöléseket; azonban egyes szerzőknél $\mathbb {R} ^{+}$ a nemnegatív valós számoksat jelenti.

Számosság

A valós számok számosságát kontinuumnak nevezik, és ${\mathfrak {c}}$ -vel jelölik. Ez nagyobb, mint a természetes számok $\aleph _{0}$ számossága, de megegyezik a természetes számok hatványhalmazának számosságával, amit ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$ fejez ki. A nem megszámlálhatóság azt jelenti, hogy minden $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ lista szükségképpen hiányos.

Az ismert szűkebb számkörök, a racionális számok, az algebrai számok, a kiszámítható számok mind megszámlálhatóak. A racionális számok megszámlálása bizonyítható Cantor módszerével. A nem megszámlálhatóság a kiszámíthatatlan transzcendens számok hozzávételével adódik.

A halmazelméletben Cantor felfedezései után adódott a kérdés: Van számosság a megszámlálható és a kontinuum végtelen között? Vagy a valós számokra megfogalmazva: A valós számok minden nem megszámlálható részhalmaza kölcsönösen egyértelműen megfeleltethető-e a valós számoknak? Ez a kontinuumhipotézis, mely függetlennek bizonyult a szokásos axiómarendszertől, mint a Zermelo-Fraenkel-axiómáktól a kiválasztási axiómával együtt. Nem bizonyítható, nem cáfolható ebben a rendszerben.

Topológia, kompaktság, kibővített valós számok

A valós számok szokásos topológiáját a nyílt intervallumok generálják, azaz az

$(a,b)={]a,b[}=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\};a,b\in \mathbb {R}$

intervallumok. Rendezési topológiának is nevezik. A $]p-r,p+r[,$ nyílt intervallumok gömbőkként is megadhatók,

$B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-p|<r\}$,

ahol $p$ középpont és $r$ sugár a $d(x,y):=|x-y|$ abszolútérték által definiált metrikában. Ezzel a generált topológia megegyezik a metrikus tér által generált generált topológiával. Mivel a racionális számok sűrű, de megszámlálható részhalmazt alkotnak, azért néha ezeket a számokat a racionális számokra korlátozzák.

A racionális számokkal szemben a valós számok lokálisan kompakt teret alkotnak. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges $x$ valós számnak van nyílt környezete, melynek lezártja kompakt. A Heine–Borel-tétel szerint bármely $U$ nyílt halmaz alkalmas, melyre $x\in U$, hiszen ${\bar {U}}$ kompakt.

A valós számok halmaza lokálisan kompakt, de nem kompakt. A kiterjesztett valós számok halmaza ennek kompaktifikálása, ${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \},$ ahol $-\infty$ környezetei a

${\mathfrak {B}}:=\{B_{r}(-\infty )\mid r\in {\mathbb {Q} }^{+}\}$ alakú halmazok, és $B_{r}(-\infty ):=\{x\in \mathbb {R} \mid x<-{\tfrac {1}{r}}\}$

továbbá $+\infty$ környezetei

${\mathfrak {B}}:=\{B_{r}(+\infty )\mid r\in {\mathbb {Q} }^{+}\}$ alakúak, ahol $B_{r}(+\infty ):=\{x\in \mathbb {R} \mid x>{\tfrac {1}{r}}\}$.

Ez a topológia eleget tesz a megszámlálhatósági axiómáknak. ${\overline {\mathbb {R} }}\;$ homeomorf a [0,1] zárt intervallummal, például $x\mapsto \arctan x$ egy ${\overline {\mathbb {R} }}\to [-\pi /2,\pi /2],$ homeomorfia. Affin-lineáris függvényekkel a zárt intervallumok homeomorfak egymással. Minden monoton sorozatnak van határértéke; például az

$\lim _{n\to \infty }n^{2}=+\infty$

valódi határérték.

Az $x\in \mathbb {R}$ rendezésének kiterjesztése: $-\infty <x<\infty$, így a kiterjesztett valós számok halmaza teljesen rendezett. A testaxiómák nem vihetők át, hiszen az $\infty +x=\infty$ egyenlet nem oldható meg egyértelműen.

Kapcsolódó témák

• A számok ábrázolása különböző számrendszerekben.
• Valós számok közelítő ábrázolása a számítógépen lebegőpontos számokkal.
• Az intervallumaritmetika tekintetbe veszi a kerekítési hibát.
• A modellelméletből levezethető a nem standard analízis.

Források

• George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano: Thomas-féle Kalkulus I. kötet ISBN 978-963-279-011-4
• Császár Ákos: Valós analízis I.
• Valós számok
• Valós számok a MathWorld-ön
• Oliver Deiser: Reelle Zahlen – Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. Springer-Verlag, 2007, ISBN 3-540-45387-3.
• Klaus Mainzer: Reelle Zahlen In: Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen. 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-55654-0, Kapitel 2.
• Otto Forster: Analysis 1. Differential und Integralrechnung einer Veränderlichen. 4. Auflage. vieweg, 1983, ISBN 3-528-37224-9.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2.
• John M. H. Olmsted. The Real Number System. New York: Appleton-Century-Crofts (1962) 
• Der kleine Duden „Mathematik“, 2., Mannheim [u. a.]: Dudenverlag (1996) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Reelle Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.