Főmenü megnyitása

A Wiener-folyamat egy időben folytonos sztochasztikus folyamat, melyet Norbert Wiener (1894–1964), amerikai matematikusról neveztek el. Ezt a folyamatot Brown-mozgásnak is szokták hívni. Ez az egyik legismertebb Lévy-folyamat, és gyakran előfordul az alkalmazott matematikában, a közgazdaságban, a fizikában, és a pénzügyi folyamatoknál.

A Wiener-folyamat fontos szerepet játszik az elméleti és az alkalmazott matematikában. Az elméleti matematikában a Wiener-folyamat segíti az időben folytonos martingál kutatásokat. A Wiener-folyamat kulcsfontosságú folyamat, mely lehetővé teszi jóval bonyolultabb sztochasztikus folyamatok leírását. Alapvető szerepe van a sztochasztikus számításoknál, a diffúziós folyamat és a potenciál elméletnél.

Az alkalmazott matematikában a Wiener-folyamatot a Gauss-féle fehér zaj integráljának kifejezésére használják, és így ez egy hasznos modell az elektronikai műszaki tudományokban a zaj modellezésre, a szűrő (jelfeldolgozás) elméletben, és a szabályozáselméletben az ismeretlen erők analízisénél. A Schrödinger-egyenlet egy megoldása is kifejezhető a Wiener-folyamattal. A pénzügyi folyamatok matematikai elméletében is alkalmazzák, különösen a Black–Scholes-modellben.

Tartalomjegyzék

A Wiener-folyamat jellemzőiSzerkesztés

DefinícióSzerkesztés

Wiener-folyamat alatt olyan   sztochasztikus folyamatot értünk, amely kielégíti az alábbi négy tulajdonságot:

  1.  , azaz  
  2. Folytonos trajektóriájú, azaz minden   esetén a   leképezés mindenhol folytonos
  3. Minden   véges indexhalmazra a   változók függetlenek egymástól.
  4. Minden   esetén  .

Mindez az   valószínűségi mező fölött.   alatt az   valószínűségi változót értjük.

N(μ, σ2) normális eloszlás μ várható értékkel, és σ2 szórásnégyzettel. A független növekmények azt jelentik, hogy ha 0 ≤ s1 < t1s2 < t2, akkor Wt1Ws1 és Wt2Ws2 független valószínűségi változók, és hasonló feltételek érvényesek n növekményre is. A Wiener-folyamat egy másik jellemzése az úgynevezett Lévy-féle leírás, mely azt mondja, hogy a Wiener-folyamat majdnem biztosan folytonos martingál W0 = 0 mellett, és a kvadratikus variáció [Wt, Wt] = t (mely azt jelenti, hogy Wt2t szintén martingál). Egy harmadik jellemzés szinusz sorokkal történik, ahol az együtthatók független valószínűségi változók. Ez a megközelítés a Karhunen–Loève-tételt használja fel.

Egy Wiener-folyamat a természetes filtrációjában martingál.

Kapcsolódó folyamatokSzerkesztés

 
Brown-mozgás egy gömb felületén

Ez a sztochasztikus folyamat:

 

a Wiener-folyamat μ drifttel, és elenyésző σ2. szórásnégyzettel. Ez a folyamat megfelel a Lévy-folyamatnak. Speciális változatai a Brown-híd és a Brown-elhajlás.

A geometrikus Brown-mozgás:

 

Ez egy sztochasztikus folyamat, mely sohasem vesz fel negatív értéket, mint például a tőzsde értéke. Az alábbi sztochasztikus folyamat, a Ornstein–Uhlenbeck-folyamat.

 

Az integrált Brown-mozgásSzerkesztés

A Wiener-folyamat idő szerinti integrálja:   Ezt integrált Brown-mozgásnak, vagy integrált Wiener-folyamatnak hívják. Az integrált Wiener-folyamat több alkalmazásnál is szerepel, mint normális eloszlás, zéró várható értékkel és   szórásnégyzettel. A Wiener-folyamat kovarianciája  .[1]

IrodalomSzerkesztés

  • Durrett, R: Probability: theory and examples,4th edition. (hely nélkül): Cambridge University Press. 2000. ISBN 0-521-76539-0  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

További információkSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  1. Forum, "Variance of integrated Wiener process" Archiválva 2013. december 2-i dátummal a Wayback Machine-ben, 2009.