Zéta-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a zéta-eloszlás egy diszkrét valószínűség eloszlás.

Zéta-eloszlás:valószínűségi tömeg függvény

Zéta-eloszlás:kumulatív eloszlás függvény

Ha X egy zéta-eloszlású valószínűségi változó, s paraméterrel, akkor annak a valószínűségét, hogy X felveszi a k egész értéket, a valószínűségi tömeg függvény adja meg:

$f_{s}(k)=k^{-s}/\zeta (s)\,$

ahol ζ(s), a Riemann zéta-függvény (mely nem definiált s = 1 esetén). A zéta-eloszlás ekvivalens a Zipf-eloszlással, végtelen N-re.

A ‘zéta-eloszlás’t, és a ‘Zipf-eloszlás’t gyakran felcserélik.

Momentumok

Az n-edik nyers momentum definíciója, ahol Xⁿ, a várható érték:

$m_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s-n}}}$

A jobb oldalon látható sor, éppen a Riemann zéta-függvény, de az csak s-n-hez konvergál. Így:

$m_{n}=\left\{{\begin{matrix}\zeta (s-n)/\zeta (s)&{\textrm {ha}}~n<s-1\\\infty &{\textrm {ha}}~n\geq s-1\end{matrix}}\right.$

Megjegyezzük, hogy a zéta-függvény jól definiált, még n ≥ s − 1 esetben is, mert a sor analitikusan folytatható. Ez nem változtat azon a tényen, hogy a momentumot maga a sor definiálja, és ezért nagy n-re nem definiált.

Momentum generáló függvény

Definíció szerint:

$M(t;s)=E(e^{tX})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}.$

A sor éppen a polilogaritmus definíciója, mely $e^{t}<1$ esetben érvényes, így:

$M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ ha }}t<0.$

A függvény Taylor-soros kiterjesztése nem eredményezi szükségszerűen az eloszlás momentumát. A momentumot használó Taylor-sor előfordul a momentum generáló függvényben

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}t^{n}}{n!}},$

mely nyilvánvalóan nem jól definiált s bármely véges értékére, mert a momentum végtelen lesz nagy n-eknél. Ha az analitikusan folytatódó kifejezést használjuk a momentum helyett, akkor a polilogaritmus sorba fejtett változatát kapjuk:

${\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{n=0,n\neq s-1}^{\infty }{\frac {\zeta (s-n)}{n!}}\,t^{n}={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})-\Phi (s,t)}{\zeta (s)}}$

ha $\scriptstyle |t|\,<\,2\pi$. $\scriptstyle \Phi (s,t)$ :

$\Phi (s,t)=\Gamma (1-s)(-t)^{s-1}{\text{ for }}s\neq 1,2,3\ldots$

$\Phi (s,t)={\frac {t^{s-1}}{(s-1)!}}\left[H_{s}-\ln(-t)\right]{\text{ for }}s=2,3,4\ldots$

$\Phi (s,t)=-\ln(-t){\text{ for }}s=1,\,$

ahol H_s egy harmonikus szám.

Az s = 1 esete

ζ(1) végtelen, mint a harmonikus sor, és így s = 1 esetének nincs értelme. Azonban, ha A bármely halmaza pozitív egészeknek, melynek van sűrűsége, például, ha

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {N(A,n)}{n}}$

létezik, ahol N(A, n) A tagjainak száma, kisebb vagy egyenlő n, akkor

$\lim _{s\rightarrow 1+}P(X\in A)\,$

egyenlő a sűrűséggel. Ez utóbbi határérték létezhet, akkor is, ha A-nak nincs sűrűsége. Ha például, A egy olyan pozitív egészekből álló halmaz, ahol d az első szám, akkor annak ellenére, hogy a fentebbi második limit létezik, és arányos

$\log(d+1)-\log(d),\,$

mely hasonló a Benford-törvénnyel.

Irodalom

• Pierre-Simon de Laplace. Analytical Theory of Probability (1812) 
• Andrej Nyikolajevics Kolmogorov. Foundations of the Theory of Probability (1950) 
• Patrick Billingsley. Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons (1979) 
• Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2
• Henk Tijms. Understanding Probability. Cambridge Univ. Press (2004) 
• Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Gut, Allan. Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag (2005). ISBN 0387228330 
• Horváth Gézáné: Kvantitatív módszerek I.Fejezetek a valószínűségszámításból. (hely nélkül): PERFEKT ZRT. 2005. ISBN 9789633945902  

Kapcsolódó szócikkek

• Zipf-törvény
• Diszkrét eloszlás
• Lévy-eloszlás
• Pareto-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Taylor-sor
• Zipf–Mandelbrot-törvény
• Benford-törvény
• Polilogaritmus