Bode-diagram

A Bode-diagram a rendszerelmélet, irányítástechnika, jelfeldolgozás és hálózatszámítás területén elterjedten használt grafikon, mely egy egy bemenetű, egy kimenetű rendszer átviteli karakterisztikájának ábrázolására szolgál. A diagram részét alkotó két részdiagram az átviteli karakterisztika amplitúdóját illetve fázisát ábrázolja a frekvencia függvényében.

Másodfokú aluláteresztő szűrő Bode-diagramja
Fölül az amplitúdó karakterisztika, alul a fázismenet
(kirajzolva MATLABbal)

A diagram nagy előnye más módszerekkel (például Nyquist-diagram) szemben, hogy a frekvenciát és az amplitúdót logaritmikus skálán ábrázolja, így nagy átfogást biztosít. Ez egyben lehetővé teszi, hogy a valós rendszerekben gyakran előforduló, racionális törtfüggvény alakú átviteli karakterisztikák esetén kézzel is viszonylag könnyű közelítő diagramokat rajzolni. A diagram névadója, Hendrik Wade Bode amerikai mérnök az 1930-as években alkalmazta először.

A Bode-diagram felépítése

A Bode-diagramot komplex értékű, egyváltozós függvény, az átviteli karakterisztika ábrázolására használják. Ehhez a komplex szám exponenciális alakját használja fel:

$z=ae^{j\varphi }$

Ahol az a nemnegatív valós szám z abszolútértéke, a valós φ pedig z árkusza. A komplex értékű H(jω) átviteli karakterisztikát is felírhatjuk

$H(j\omega )=a(\omega )e^{j\varphi (\omega )}$

alakban. Bode az a(ω) és a φ(ω) függvényt ábrázolta két diagramon:

• Az amplitúdókarakterisztika az átviteli karakterisztika abszolút értékének frekvenciafüggését mutatja be, a vízszintes tengelyen a frekvenciát, a függőlegesen az amplitúdót ábrázolva.

A körfrekvencia-tengely logaritmikus léptékű, de a lineáris egységben megadott körfrekvencia értékeket kell feltüntetni rajta. A tengelyen két körfrekvencia távolságát, melyek közül az egyik a másik 10-szerese, dekádnak nevezzük, kétszeres frekvenciák távolságát oktávnak. Az amplitúdóskála szintén logaritmikus léptékű, itt azonban a feltüntetett értékek is logaritmikus egységben, decibelben szerepelnek.

$a_{dB}=20\log _{10}a\,$

• A fáziskarakterisztika az átviteli karakterisztika árkuszának (szögének) függvényét tünteti fel. A körfrekvencia-tengely itt is logaritmikus léptékű, a fázisszöget azonban lineáris skálán kell ábrázolni (fokban vagy radiánban kifejezve).

A Bode-diagramban a két részdiagramot egymás fölött helyezik el úgy, hogy a vízszintes (körfrekvencia) tengely a két diagramon fedésben legyen.

A diagram közelítő felrajzolása

Valós pólus vagy zérus hatása

Elsőfokú aluláteresztő karakterisztika számított(Δ) és közelítő értéke

A közelítő (aszimptotikus, töréspontos) ábrázolás abból a meggondolásból indul ki, hogy egy

$H(j\omega )=1+{\frac {j\omega }{\Omega }}$

alakú kifejezés (ahol $-\Omega$ a zérusfrekvencia, $|\Omega |$ a törésponti körfrekvencia) nagy frekvenciákon $j\omega /\Omega$-vel, kis frekvenciákon pedig 1-gyel ($0{\text{dB}}$) közelíthető. Mivel a két közelítő egyenes épp $\omega =\Omega$-nál metszik egymást, a törtvonalas közelítés amplitúdómenete felrajzolható úgy, hogy kis frekvenciáktól a törésponti frekvenciáig 0 dB-nél halad, majd innentől $j\omega /\Omega$ abszolút értékének megfelelő egyenessel, 20 dB/dekáddal emelkedik. A fázis közelítésénél jól látható, hogy kis frekvenciáknál 0-val, nagy frekvenciáknál 90°-kal (pozitív $\Omega$) vagy -90°-kal (negatív $\Omega$) számolhatunk. A törésponti érték pedig $|1+j|={\sqrt {2}}=+3dB$. Az átmeneti tartományt a törésponti frekvencia tizede és tízszerese között szokták meghatározni, az említett határoknál már 0° illetve 90° közelítést alkalmazva. Ez mindössze

$arctg\left(0,1\right)\approx 5,71^{\circ }$

hibát okoz.

Pólust tartalmazó tag esetén hasonló a helyzet, ekkor a

$H(\omega )={\frac {1}{1+{\frac {j\omega }{\Omega }}}}$

alakú, egypólusú rendszer átviteli karakterisztikája az előbb tárgyalténak a reciproka. Ezért az amplitúdómenet az előbbi reciproka lesz, vagyis a törésponti frekvencia után -20 dB/dekáddal csökkenő egyenest kell rajzolni. A fázismenetben a reciprok képzés miatt a fázis a -1-szeresére változik, előjelet vált. Megjegyzendő, hogy stabil rendszerekben nem lehet pozitív a pólusfrekvencia, ezért stabil rendszereknél $\Omega$ mindig pozitív.

Konjugált zérus- illetve póluspárok

Egy nevezőjében másodfokú, számlálójában nulladfokú átviteli karakterisztika általános alakja

$H_{2}(j\omega )={\frac {1}{1+2\zeta {\frac {j\omega }{\Omega }}+\left({\frac {j\omega }{\Omega }}\right)^{2}}}$

ahol $\Omega$ a másodfokú pólusfrekvencia, $\zeta$ (zeta) a csillapítási tényező (a jósági tényező reciproka). $\zeta >=1$ esetén a függvénynek két valós pólusa van, $\zeta <1$ esetén két konjugált komplex pólusa. A karakterisztika abszolút értéke és fázisa

$\log _{10}|H_{2}(j\omega )|=\log _{10}\left[\left(1-\left({\frac {\omega }{\Omega }}\right)^{2}\right)^{2}+\left(2\zeta {\frac {\omega }{\Omega }}\right)^{2}\right]$

illetve

$\varphi _{2}(\omega )=-arctg{\frac {2\zeta {\frac {\omega }{\Omega }}}{1-\left({\frac {\omega }{\Omega }}\right)^{2}}}$

Az átviteli karakterisztika közelítő értéke $\Omega >0$ esetén

	$0<\omega <<\Omega$	$\omega =\Omega$	$\Omega <<\omega$
$H_{2}(j\omega )$	$1$	$1/j2\zeta$	$-\left({\frac {\Omega }{\omega }}\right)^{2}$
$20\log _{10}|H_{2}(j\omega )|$	$0{\text{dB}}$	$-20lg\left({\frac {1}{2\zeta }}\right){\text{dB}}$	$-40lg\left({\frac {\omega }{\Omega }}\right){\text{dB}}$
$\varphi _{2}(\omega )$	$0{\text{°}}$	$-90{\text{°}}$	$-180{\text{°}}$

Vagyis törtvonalas közelítés esetén kis frekvenciákon az amplitúdókarakterisztikát a 0 dB-s aszimptotájával, a fáziskarakterisztikát a 0°-os aszimptotával közelíthetjük, nagy frekvencián az $(\Omega ,0dB)$ ponton átmenő, -40 dB/dekád meredekségű egyenessel illetve -180°-kal becsülhető a karakterisztika. A fázis átmeneti tartománya $\omega _{1}=10^{-\zeta }\Omega$ és $\omega _{2}=10^{\zeta }\Omega$ között egy $(\omega _{1},0{\text{°}})$, $(\omega _{2},-180{\text{°}})$ pontokon áthaladó egyenessel közelíthető.

Mint a táblázat is mutatja, az átmeneti tartományban a másodfokú átviteli karakterisztika amplitúdója a csillapítási tényező függvényében nagymértékben eltérhet az aszimptotától.

Másodfokú számlálóval rendelkező átviteli karakterisztika fáziskarakterisztikája valamint amplitúdókarakterisztikája decibelben a fent vázolt karakterisztikák mínusz egyszerese.

Többtényezős átviteli karakterisztika eredője

Általános esetben az átviteli karakterisztika

$H(\omega )=\prod \limits _{i=0}^{n-1}{H_{i}(\omega )}$

alakban írható fel. A logaritmus azonosságok miatt

$\log _{10}{|H(\omega )|}=\sum \limits _{i=0}^{n-1}{\log _{10}|H_{i}(\omega )|}$

Ezen kívül $\arg\{H(\omega )\}=\sum \limits _{i=0}^{n-1}{\arg\{H_{i}(\omega )\}}$

Vagyis az n tényező szorzataként előálló átviteli karakterisztika mind az amplitúdó- mind a fáziskarakterisztikája a tényezők karakterisztikájának összege.

Diszkrét idejű rendszerek

A diszkrét idejű rendszerek átviteli karakterisztikáját tipikusan nem az eredeti Bode-diagramon ábrázolják, de hasonló diagramokat használnak ezen a területen is. Az amplitúdókarakterisztikát és a fáziskarakterisztikát lineáris frekvenciatengellyel ábrázolják, további különbség, hogy az amplitúdót az esetek egy részében szintén lineáris egységben tüntetik fel.

Mivel e rendszerek átviteli karakterisztikája általában $e^{j\omega T_{S}}$-ben (T_S a mintavételi periódusidő) és nem $j\omega T_{S}$-ben racionális törtfüggvény, az átviteli karakterisztika $e^{j\omega T_{S}}$ periodikus jellegéből következően ω_S=2π/T_S többszöröseivel eltolva ismétlődik. Elég tehát csak az ω∈[0, ω_S] intervallumon ábrázolni.

A Bode-diagram egyik fő előnyére, a nagy átfogásra itt nincs szükség, mert mintavételezett rendszerekben mivel a mintavételi frekvenciát a számítási igény csökkentése érdekében célszerű minimális szinten tartani, így a rendszerek körfrekvencia-tartománya viszonylag jól kitölti a [0, ω_S] intervallumot, a lineáris felbontás itt megfelelő. Emellett egyszerű felrajzolásának előnye is elveszik ebben a környezetben épp amiatt, mert az átviteli karakterisztika nem $j\omega T_{S}$ racionális törtfüggvénye. Lineáris körfrekvencia-tengely és logaritmikus amplitúdótengely esetén lenne lehetőség a fentebb vázolt tört vonalas közelítés alkalmazására. Egyéb praktikus megfontolások is ebbe az irányba mutatnak. Egy rendszer analíziséhez gyakran használják a diszkrét Fourier-transzformációt, aminek a frekvenciabeli felbontása lineáris léptékben állandó, ω_S/N (N a felhasznált minták száma).

Források

Fodor György. Hálózatok és rendszerek. Műegyetem Kiadó (2004). ISBN 963 420 810 X