Hasonlóság (mátrixok)

Két mátrix és akkor hasonló, ha létezik egy invertálható mátrix , ami teljesíti a következő egyenletet:

.

A mátrixot bázistranszformáció mátrixnak szokták nevezni, mivel hasonló mátrixok ugyanazt a lineáris leképzést reprezentálják, csak különböző bázishoz viszonyítva.

A hasonlóságot helyenként vagy módon jelölik.

TulajdonságokSzerkesztés

A hasonlóság egy ekvivalenciareláció:

  • Reflexív: minden mátrix saját magához hasonló  .
    Bizonyítás:  , ahol   az egységmátrixot jelöli.
  • Szimmetrikus: ha  , akkor  .
    Bizonyítás:  
  • Tranzitív: ha   és   akkor  .
    Bizonyítás:   kifejezhető mint   és   mit  .   újraírható mint  . Bázistranszformáció mátrix ebben az esetben  .

Ha két mátrix  ,   hasonló  , akkor

  • A rangok azonosak:  .
    Bizonyítás: a kifejezés   átírható mint  . Mivel   invertálható, ezért a rangja  .
 
  • A determinánsok azonosak:  .
    Bizonyítás:
 
  • A nyomok azonosak:  .
    Bizonyítás:
 
 
  • Sajátértékek és a hozzátartozó algebrai multiplicitások azonosak. Bizonyítás: mivel karakterisztikus polinomok azonosak, ezért a karakterisztikus egyenleteknek is azonosnak kell lenniük. Ebből következtethető, hogy a sajátértékek is azonosak.
  • Jordan-féle normálformák azonosak.

PéldaSzerkesztés

A két   mátrix   és   hasonlóak. A bázistranszformáció mátrix ebben az esetben  .

 

  • Rang
    •  
    •  
  • Determináns
    •  
    •  
  • Nyom
    •  
    •  
  • Karakterisztikus polinom
    •  
    •  

ForrásokSzerkesztés