Hasonlóság (mátrixok)

Két $n\times n$ mátrix $A$ és $B$ akkor hasonló, ha létezik egy invertálható $n\times n$ mátrix $P$, ami teljesíti a következő egyenletet:

$B=P^{-1}AP$.

A $P$ mátrixot bázistranszformáció mátrixnak szokták nevezni, mivel hasonló mátrixok ugyanazt a lineáris leképzést reprezentálják, csak különböző bázishoz viszonyítva.

A hasonlóságot helyenként $A\cong B$ vagy $A\sim B$ módon jelölik.

Tulajdonságok

A hasonlóság egy ekvivalenciareláció:

• Reflexív: minden mátrix saját magához hasonló $A\cong A$.

  Bizonyítás: $A=I_{n}^{-1}AI_{n}$, ahol $I_{n}$ az egységmátrixot jelöli.

• Szimmetrikus: ha $A\cong B$, akkor $B\cong A$.

  Bizonyítás: $B=P^{-1}AP\rightarrow PB=AP\rightarrow PBP^{-1}=A$

• Tranzitív: ha $A\cong B$ és $B\cong C$ akkor $A\cong C$.

  Bizonyítás: $B$ kifejezhető mint $B=P_{1}^{-1}AP_{1}$ és $C$ mit $C=P_{2}^{-1}BP_{2}$. $C$ újraírható mint $C=P_{2}^{-1}P_{1}^{-1}AP_{1}P_{2}$. Bázistranszformáció mátrix ebben az esetben $P=P_{1}P_{2}$.

Ha két mátrix $A$, $B$ hasonló $A\cong B$, akkor

• A rangok azonosak: $\mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B$.

  Bizonyítás: a kifejezés $B=P^{-1}AP$ átírható mint $PB=AP$. Mivel $P$ invertálható, ezért a rangja $n$.

${\begin{aligned}\mathrm {rang} (PB)&=\mathrm {rang} (AP)\\\mathrm {rang} B&=\mathrm {rang} A\end{aligned}}$

• A determinánsok azonosak: $\det A=\det B$.

  Bizonyítás:

${\begin{aligned}\det B&=\det(P^{-1}AP)\\&=\det P^{-1}\det A\det P=(\det P)^{-1}\det A\det P\\&=\det A\end{aligned}}$

• A nyomok azonosak: $\mathrm {tr} A=\mathrm {tr} B$.

  Bizonyítás:

${\begin{aligned}\mathrm {tr} B&=\mathrm {tr} (P^{-1}AP)\\&=\mathrm {tr} (PP^{-1}A)=\mathrm {tr} (I_{n}A){\text{ (A nyomok ciklikus tulajdonsága)}}\\&=\mathrm {tr} A\end{aligned}}$

• A karakterisztikus polinomok azonosak: $p_{A}(t)=p_{B}(t)$.

  Bizonyítás:

${\begin{aligned}p_{B}(t)&=\det(tI_{n}-B)\\&=\det(P^{-1}tI_{n}P-P^{-1}AP)\\&=\det(P^{-1}(tI_{n}-A)P)\\&=\det P^{-1}\det(tI_{n}-A)\det P=(\det P)^{-1}\det(tI_{n}-A)\det P\\&=\det(tI_{n}-A)=p_{A}(t)\end{aligned}}$

• Sajátértékek és a hozzátartozó algebrai multiplicitások azonosak. Bizonyítás: mivel karakterisztikus polinomok azonosak, ezért a karakterisztikus egyenleteknek is azonosnak kell lenniük. Ebből következtethető, hogy a sajátértékek is azonosak.
• Jordan-féle normálformák azonosak.

Példa

A két $2\times 2$ mátrix $A={\begin{bmatrix}2&3\\0&4\end{bmatrix}}$ és $B={\begin{bmatrix}3&4\\{\frac {1}{4}}&3\end{bmatrix}}$ hasonlóak. A bázistranszformáció mátrix ebben az esetben $P={\begin{bmatrix}3&0\\1&4\end{bmatrix}}$.

${\begin{aligned}B&=P^{-1}AP={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}&0\\-{\frac {1}{12}}&{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&3\\0&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&0\\1&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\{\frac {1}{4}}&3\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

• Rang
  • $\mathrm {rang} A=2$
  • $\mathrm {rang} B=2$
• Determináns
  • $\det A=2\cdot 4-3\cdot 0=8$
  • $\det B=3\cdot 3-4\cdot {\frac {1}{4}}=8$
• Nyom
  • $\mathrm {tr} A=2+4=6$
  • $\mathrm {tr} B=3+3=6$
• Karakterisztikus polinom
  • $p_{A}(t)=(2-t)(4-t)-3\cdot 0=t^{2}-6t+8$
  • $p_{B}(t)=(3-t)(3-t)-4\cdot {\frac {1}{4}}=t^{2}-6t+8$

Források

• Freud Róbert: Lineáris algebra. ISBN 9634634710  
• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK §2