Helyvektor

A matematikában a sík vagy a tér egy adott pontjának helyvektora az a vektor, amely a koordináta-rendszer origójából (kezdőpontjából) a pontba mutat. A helyvektor tehát függ attól, hogy a pontot milyen koordináta-rendszerben helyezzük el.

A koordináta-rendszer vagy vonatkoztatási rendszer origója az a pont, amelynek minden koordinátája 0. Egy derékszögű koordináta-rendszerben ez a koordináta-tengelyek metszéspontja.

A helyvektor előállítása

A kinematikában egy anyagi pontot az r(t) helyvektor jelöli, amely megmutatja a t időpontbeli helyét, elmozdulását. Az r helyvektor a Descartes-féle koordináta-rendszerben:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} ,$

ahol x(t), y(t), z(t) az r helyvektor koordinátái, i, j, k pedig - az origóban egymásra merőlegesen álló - így a koordináta-rendszert "kifeszítő" egységvektorok. (Egységvektor: 1 egységnyi hosszúságú vektor).

Ennek ismeretében bármikor meghatározható a tömegpont pályája.
(A kinematika a mechanika mozgásokkal foglalkozó része, nem vizsgálja az erőt, amely a mozgásokat befolyásolja, azt a kinetika, a mechanika egy másik részterülete tárgyalja.)

Kísérő triéder

Egy felületen vagy görbén történő mozgást pályához kötött koordináta-rendszerben, a kísérő triéderben (más néven természetes koordináta-rendszer-ben) ábrázolnak, amit három, egymásra kölcsönösen merőleges egységvektor alkot. Az egységvektorai: t az érintő (tangenciális), n a főnormális és b, a binormális egységvektor.

A kísérő triéder előállítása a következő:

A térgörbe az $\mathbf {r} (s)=x(s)\mathbf {i} +y(s)\mathbf {j} +z(s)\mathbf {k}$ helyvektor, ahol s paraméter a görbe előjeles ívhossza.

A kísérő triéder egységvektorai:

$\mathbf {t} ={\frac {d\mathbf {r} }{ds}}$ az érintő (tangenciális, e -vel is jelölhetik),

$\mathbf {n} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}$ a főnormális és

$\mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n}$ a binormális egységvektor (azaz a másik két egységvektor vektoriális szorzata).

A kísérő triéder fogalmának a kinematikában van jelentősége. Pl. a Frenet-formulák, azaz a térgörbe kísérő triédere három egységvektorának az ívhossz (s) szerinti deriváltjait megadó összefüggések:

t′(s) = g(s)n(s),

n′(s) = –g(s)t(s) + c(s)b(s),

b′(s) = –c(s)n(s),

ahol g(s) a görbe görbülete és c(s) a torziója.

A helyvektor deriváltjai (sebességvektor, gyorsulásvektor)

Sebességvektor

A helyvektor idő szerinti első deriváltja (differenciálhányadosa) a sebesség (velocitas), jele: v, mértékegysége: méter per szekundum vagy méter per másodperc (m/s).

Egy m anyagi pont kinematikája.
r a helyvektora, v a sebességvektora, a a gyorsulásvektora.

$\mathbf {v} ={\mathbf {\dot {r}} }.$

A sebességvektor a pálya érintőjének az irányába mutat.

A Descartes-féle koordináta-rendszerben:

$\mathbf {v} =\mathbf {\dot {r}} ={\dot {x}}(t)\mathbf {i} +{\dot {y}}(t)\mathbf {j} +{\dot {z}}(t)\mathbf {k} .$

Gyorsulásvektor

A gyorsulás a helyvektornak az idő szerinti második, a sebességnek pedig az idő szerinti első deriváltja, jele: a (acceleratio), mértékegysége: méter per szekundumnégyzet (másként: méter per másodperc a négyzeten): m/s² vagy m*s⁻²:

$\mathbf {a} ={\mathbf {\ddot {r}} }=\mathbf {\dot {v}} .$

Az átlagos gyorsulásvektor iránya megegyezik a Δv sebességváltozás-vektor irányával. Az átlagos gyorsulás független attól, hogyan változik az anyagi pont sebessége a kezdő és végpont között, kizárólag a sebesség vektornak a két pontban felvett értékétől (azok különbségétől) és az időintervallum hosszától függ. Az anyagi pont pillanatnyi gyorsulását az átlaggyorsulás határértéke adja, ha Δt tart a nullához.

További deriváltak

További deriváltakat már nem szoktak keresni. Az ok: az anyagi pontnak a környezetével való kölcsönhatását - az erőt - Nevton II. törvénye a helyvektor második deriváltjával, a gyorsulással kapcsolja össze:

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,$

ahol F az erő, m a tömeg és a a gyorsulás.

A h vektor, a helyvektor idő szerinti harmadik deriváltja például a nagy sebességű íves vasúti pályák geometriai pályáját határozza meg, valamint előidézi a élettani hatásokat, egyben e hatások mértéke is:

$\mathbf {h} ={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}={\overset {...}{\mathbf {r} }}={\overset {...}{x}}(t)\mathbf {i} +{\overset {...}{y}}(t)\mathbf {j} +{\overset {...}{z}}(t)\mathbf {k} .$

Az m vektort, a helyvektor idő szerinti negyedik deriváltját pedig - a vasútnál maradva - a nagy sebességű vasúti pályák geometriai összehasonlító értékelésénél alkalmazzák a mérnökök:

$\mathbf {m} ={\frac {d\mathbf {h} }{dt}}={\overset {....}{\mathbf {r} }}={\overset {....}{x}}(t)\mathbf {i} +{\overset {....}{y}}(t)\mathbf {j} +{\overset {....}{z}}(t)\mathbf {k} .$

Források

• Helyvektor
• Az anyagi pont kinematikája
• FIZIKA I. Mechanika, Hőtan - Kinematika
• Mechanika III.
• II. Mechanika
• Dr. Megyeri Jenő. Vasúti mozgásgeometria. Budapest: Műszaki Könyvkiadó (1986). ISBN 9631059782 
• Természettudományi lexikon II. (D–G). Főszerk. Erdey-Grúz Tibor. Budapest: Akadémiai. 1965. 752. o.
• kísérő triéder (szócikk), TermTudLex. Budapest: Akadémiai Kiadó, 3. kötet, 729. o. (1966)