Pitagoraszi prímek

két négyzetszám összegeként felírható páratlan prímszám; 4n+1 alakú prím
(Pitagoraszi prím szócikkből átirányítva)
Az 5 pitagoraszi prím és négyzetgyöke mindketten egész befogókkal rendelkező derékszögű háromszögek átfogói. A képletek megmutatják, hogyan lehet bármely egész oldalú derékszögű háromszöget áttranszformálni olyan egész oldalú derékszögű háromszöggé, melyek átfogója az első háromszög átfogójának a négyzete.

A pitagoraszi prímek 4n + 1 alakban felírható prímszámok. Ezek pontosan azok a páratlan prímek, melyek felírhatók két négyzetszám összegeként.

Ezzel ekvivalens megfogalmazás, hogy a Pitagorasz-tétel alapján olyan p prímszámokról van szó, melyekre p egész befogójú derékszögű háromszög átfogójának hossza, valamint olyan p prímszámok, melyeknél p maga is pitagoraszi háromszög átfogója. Például az 5 pitagoraszi prím, 5 az 1 és 2 befogójú derékszögű háromszög átfogója, 5 pedig a 3 és 4 befogójúé.

Értékek és sűrűségSzerkesztés

Az első néhány pitagoraszi prímszám:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, ... (A002144 sorozat az OEIS-ben).

A számtani sorozatokra vonatkozó Dirichlet-tétel alapján ez a sorozat végtelen sok elemet tartalmaz. Ennél erősebb állítás, hogy bármely n természetes számra a pitagoraszi és nem pitagoraszi prímek száma nagyjából megegyezik. A tapasztalatok alapján azonban a pitagoraszi prímek száma általában valamivel kisebb a nem pitagorasziaknál, ezt a jelenséget Csebisev-torzításnak (wd) nevezik.[1] Például a 600 000-nél kisebb n értékek közül csak 26 861-re és 26 862-re igaz, hogy több nála kisebb páratlan pitagoraszi prím létezik, mint nem pitagoraszi.[2]

Kifejezhetőség két négyzetszám összegekéntSzerkesztés

Egy páratlan és egy páros szám négyzetének összege mindig kongruens 1 mod 4, de léteznek olyan összetett számok – ilyen például a 21 –, melyek ≡1 mod 4 és mégsem fejezhetők ki két négyzetszám összegeként. A kétnégyzetszám-tétel kimondja, hogy a két négyzetszám összegeként kifejezhető prímszámok egész pontosan a 2 és azok a páratlan prímek, melyek ≡1 mod 4.[3] Az ilyen számok négyzetszámösszegként való kifejezése egyedi, a két négyzetszám sorba rendezésének erejéig.[4]

A Pitagorasz-tétel segítségével ez a felírás geometriailag is értelmezhető: a pitagoraszi prímek éppen azok a páratlan p prímszámok, melyekhez létezik egész oldalú befogókkal rendelkező derékszögű háromszög, melynek átfogója p. Ezek éppen azok a p prímszámok, melyekhez létezik egész oldalhosszúságú derékszögű háromszög, melynek átfogója p hosszúságú. Hiszen ha az x és y a befogó, p az átfogó (feltehetjük, hogy x > y), akkor az x2 − y2 és 2xy befogókkal rendelkező derékszögű háromszög átfogója éppen p.[5]

A négyzetösszeg szemléletes megértésének másik módja a Gauss-egészeket hívja segítségül; ezek olyan komplex számok, melyek valós és imaginárius része is egész szám.[6] Az x + yi Gauss-egész normája x2 + y2. Így a pitagoraszi prímek (és a 2) Gauss-egészek normáiként jelentkeznek, míg a többi prím nem. A Gauss-egészek körében a pitagoraszi prímek nem prímszámok, mivel felbonthatók:

p = (x + yi)(x − yi).

Hasonló módon a négyzetük is felbontható, a prímtényezős felbontástól eltérő módon:

p2 = (x + yi)2(x − yi)2 = (x2 − y2 + 2xyi)(x2 − y2 − 2xyi).

A felbontásban szereplő tényezők valós és imaginárius részei az adott derékszögű háromszögek befogói hosszának felelnek meg.

Kvadratikus maradékokSzerkesztés

A kvadratikus reciprocitás tétele alapján ha p és q különböző páratlan prímek, melyek közül legalább az egyik pitagoraszi, akkor p akkor és csak akkor kvadratikus maradék mod q, ha q kvadratikus maradék mod p; megfordítva, ha sem p, sem q nem pitagoraszi prím, akkor p akkor és csak akkor kvadratikus maradék mod q, ha q nem kvadratikus maradék mod p.[7]

A Z/p véges test felett, ahol p pitagoraszi prím, az x2 = −1 egyenletnek két megoldása van. Ez úgy is megfogalmazható, hogy a −1 kvadratikus maradék mod p. Megfordítva, az egyenletnek nincs megoldása a Z/p véges test felett, ha p páratlan prím ugyan, de nem pitagoraszi.[8]

 
A 13 csúcsú Paley-gráf

Minden p pitagoraszi prímhez hozzárendelhető egy p csúcsú Paley-gráf, ami a modulo p számokat jelképezi; a gráfban két szám akkor és csak akkor szomszédos, ha különbségük kvadratikus maradék. Ez a definíció ugyanazt a szomszédsági relációt eredményezi a kivonandó számok sorrendjétől függetlenül, a pitagoraszi prímek azon tulajdonsága miatt, hogy a −1 kvadratikus maradék.[9]

JegyzetekSzerkesztés

  1. Rubinstein, Michael & Sarnak, Peter (1994), "Chebyshev's bias", Experimental Mathematics 3 (3): 173–197, DOI 10.1080/10586458.1994.10504289.
  2. (2006. január 1.) „Prime Number Races”. American Mathematical Monthly 113 (1), 1--33. o. DOI:10.2307/27641834.  
  3. Stewart, Ian (2008), Why Beauty is Truth: A History of Symmetry, Basic Books, p. 264, ISBN 9780465082377, <http://books.google.com/books?id=6akF1v7Ds3MC&pg=PA264>.
  4. LeVeque, William Judson (1996), Fundamentals of Number Theory, Dover, p. 183, ISBN 9780486689067, <http://books.google.com/books?id=F6aJtNcwyw8C&pg=PA183>.
  5. Stillwell, John (2003), Elements of Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 112, ISBN 9780387955872, <http://books.google.com/books?id=LiAlZO2ntKAC&pg=PA112>.
  6. Mazur, Barry (2010), "Algebraic numbers [IV.I]", in Gowers, Timothy, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pp. 315–332, ISBN 9781400830398 See in particular section 9, "Representations of Prime Numbers by Binary Quadratic Forms", p. 325.
  7. (LeVeque 1996), p. 103.
  8. (LeVeque 1996), p. 100.
  9. Chung, Fan R. K. (1997), Spectral Graph Theory, vol. 92, CBMS Regional Conference Series, American Mathematical Society, pp. 97–98, ISBN 9780821889367, <http://books.google.com/books?id=YUc38_MCuhAC&pg=PA97>.

További információkSzerkesztés