Poligamma-függvény

Az m-ed rendű poligamma-függvény a gamma-függvény logaritmusának (m+1)-edik deriváltja:

$\psi ^{(m)}(z)={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z).$

Itt:

$\psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}$

a digamma-függvény, és $\Gamma (z)$ a gamma-függvény. A $\psi ^{(1)}(z)$ függvényt gyakran trigamma-függvénynek is hívják.

A gamma-függvény logaritmusa, és néhány első poligamma-függvény a komplex síkon

$\ln \Gamma (z)$	$\psi ^{(0)}(z)$	$\psi ^{(1)}(z)$	$\psi ^{(2)}(z)$	$\psi ^{(3)}(z)$	$\psi ^{(4)}(z)$

Képlet integrállal

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt$

mely érvényes Re z >0 és m > 0 esetén. m = 0 esetén lásd digamma-függvény.

Rekurzív képlet

$\psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.$

Multiplikációs elmélet

A multiplikációs elmélet szerint

$k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)$

$m>1$ esetén, és $m=0$, ez a digamma-függvény:

$k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).$

Sorozattal kifejezve

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}$

mely m > 0, és bármely z komplex számra igaz, ha az nem negatív egész. Ez a kifejezés még kompaktabb módon írható le a Hurwitz zéta-függvénnyel:

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).$

Még egy sorozat létezik a poligamma-függvényre, mely Oscar Schlömilch (1823 – 1901) német matematikus munkája $1/\Gamma (z)=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}$. Ezután, a gamma-függvény így is definiálható:

$\Gamma (z)={\frac {{\mbox{e}}^{-\gamma z}}{z}}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\;{\mbox{e}}^{z/n}$

Taylor sor

A Taylor sor z=1 esetén

$\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},$

mely konvergál |z| < 1 felé. Itt ζ a Riemann zéta-függvény. Ezek a sorok felhasználhatók számos racionális zéta sor deriválására.

Források

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Dover Publications, New York. 1964. ISBN 978-0-486-61272-0  

Kapcsolódó szócikkek

• Gamma-függvény
• Trigamma-függvény
• Digamma-függvény
• Derivált
• Riemann-integrál
• Komplex analízis
• Riemann-féle zéta-függvény