Poligamma-függvény

Az m-ed rendű poligamma-függvény a gamma-függvény logaritmusának (m+1)-edik deriváltja: [1]

Itt:

a digamma-függvény, és a gamma-függvény. A függvényt gyakran trigamma-függvénynek is hívják.

A gamma-függvény logaritmusa, és néhány első poligamma-függvény a komplex síkon
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg

Képlet integrállalSzerkesztés

 

mely érvényes Re z >0 és m > 0 esetén. m = 0 esetén lásd digamma-függvény.

Rekurzív képletSzerkesztés

 

Multiplikációs elméletSzerkesztés

A multiplikációs elmélet szerint

 

  esetén, és  , ez a digamma-függvény:

 

Sorozattal kifejezveSzerkesztés

 

mely m > 0, és bármely z komplex számra igaz, ha az nem negatív egész. Ez a kifejezés még kompaktabb módon írható le a Hurwitz zéta-függvénnyel:

 

Még egy sorozat létezik a poligamma-függvényre, mely Oscar Schlömilch (1823 – 1901) német matematikus munkája  . Ezután, a gamma-függvény így is definiálható:

 

Taylor sorSzerkesztés

A Taylor sor z=1 esetén

 

mely konvergál |z| < 1 felé. Itt ζ a Riemann zéta-függvény. Ezek a sorok felhasználhatók számos racionális zéta sor deriválására.

IrodalomSzerkesztés

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Dover Publications, New York. 1964. ISBN 978-0-486-61272-0  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés