Helyvektor

A matematikában a sík vagy a tér egy adott pontjának helyvektora az a vektor, amely a koordináta-rendszer origójából (kezdőpontjából) a pontba mutat. A helyvektor tehát függ attól, hogy a pontot milyen koordináta-rendszerben helyezzük el.

A koordináta-rendszer vagy vonatkoztatási rendszer origója az a pont, amelynek minden koordinátája 0. Egy derékszögű koordináta-rendszerben ez a koordináta-tengelyek metszéspontja. Egy $P$ pont helyvektora az ${\overrightarrow {OP}}$ vektor, ahol $O$ az origó.

A helyvektor előállítása

A geometriában szokásos még az adott pont nevének kisbetűvel írása és felülvonással ellátva jelölni az adott pont helyvektorát, például:

${\vec {p}}={\overrightarrow {OP}},\ {\vec {q}}={\overrightarrow {OQ}},\ {\vec {a}}={\overrightarrow {OA}},\ {\vec {b}}={\overrightarrow {OB}},\ \dots ,\ {\vec {x}}={\overrightarrow {OX}}$

Szokás még az adott pont betűjelét nyíllal ellátva jelölni a helyvektort:

${\vec {P}}={\overrightarrow {OP}},\ {\vec {Q}}={\overrightarrow {OQ}},\ {\vec {A}}={\overrightarrow {OA}},\ {\vec {B}}={\overrightarrow {OB}},\ \dots ,\ {\vec {X}}={\overrightarrow {OX}}$

A kinematikában egy anyagi pontot az r(t) helyvektor jelöli, amely megmutatja a t időpontbeli helyét, elmozdulását. Az r helyvektor a Descartes-féle koordináta-rendszerben:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} ,$

ahol x(t), y(t), z(t) az r helyvektor koordinátái, i, j, k pedig - az origóban egymásra merőlegesen álló - így a koordináta-rendszert "kifeszítő" egységvektorok. (Egységvektor: 1 egységnyi hosszúságú vektor).

Ennek ismeretében bármikor meghatározható a tömegpont pályája.
(A kinematika a mechanika mozgásokkal foglalkozó része, nem vizsgálja az erőt, amely a mozgásokat befolyásolja, azt a kinetika, a mechanika egy másik részterülete tárgyalja.)

Példák és geometriai alkalmazások

Összekötő vektor

Legyenek $P$ és $Q$ az euklideszi tér pontjai! Ekkor a ${\overrightarrow {PQ}}$ összekötő vektor megkapható a ${\vec {p}}={\overrightarrow {OP}}$ és ${\vec {q}}={\overrightarrow {OQ}}$ helyvektorok segítségével:

${\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {OQ}}-{\overrightarrow {OP}}={\vec {q}}-{\vec {p}}$

Descartes-koordináták

Legyenek a $P$ pont koordinátái $(p_{1},p_{2},p_{3})$! Ekkor az ${\overrightarrow {OP}}$ helyvektor koordinátái:

${\overrightarrow {OP}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}$

Hasonlók teljesülnek más dimenziókban is.

Eltolás

Jelölje ${\vec {v}}$ egy párhuzamos eltolás vektorát, és jelölje az eltolásban az $X$ pont képét $X^{\prime }$! Ekkor

${\overrightarrow {OX'}}={\overrightarrow {OX}}+{\vec {v}}$

${\vec {x}}'={\vec {x}}+{\vec {v}}$

Origó körüli forgatás

Egy $O$ origó körüli $\varphi$ szögű forgatás a Descartes-koordinátákban leírható mátrixszal: Ha ${\vec {x}}={\tbinom {x_{1}}{x_{2}}}={\overrightarrow {OX}}$ egy $X$ pont helyvektora, és ${\vec {x}}'={\tbinom {x_{1}'}{x_{2}'}}={\overrightarrow {OX'}}$ az $X'$ képpont helyvektora, akkor:

${\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}$

Affin leképezés

Egy általános affin leképezés, ami az $X$ pontot az $X'$ pontra képezi le, helyvektorokkal a következőképpen ábrázolható:

${\vec {x}}'=L({\vec {x}})+{\vec {v}}$

ahol ${\vec {x}}$ az $X$ helyvektora, ${\vec {x}}'$ az $X'$ helyvektora, $L$ egy lineáris leképezés, és ${\vec {v}}$ egy eltolás vektora. Descartes-koordinátákban az $L$ lineáris leképezés ábrázolható egy $A$ mátrixszal, és teljesül, hogy:

${\vec {x}}=A\cdot {\vec {x}}+{\vec {v}}$

Három dimenzióban:

${\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\\x_{3}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}$

Más dimenziókban az ábrázolás hasonló.

Egyenes paraméteres ábrázolása

A $P$ és $Q$ pontokon áthaladó egyenes pontosan azokat az $X$ pontokat tartalmazza, melyek ${\vec {x}}$ helyvektora előáll, mint

${\vec {x}}={\overrightarrow {OP}}+t\,{\overrightarrow {PQ}}$ ahol $t\in \mathbb {R}$

Ez az egyenes egyenletének paraméteres alakja.

Az egyenes egyenletének normálformája

Egy $P$ támaszponton átmenő, ${\vec {n}}$ normálvektorú sík pontosan azokat az $X$ pontokat tartalmazza, amelyek ${\vec {x}}$ helyvektora eleget tesz az

${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}$

normálegyenletnek. Itt ${\vec {p}}$ a $P$ támasztópont helyvektora, és a szorzópont skalárszorzást jelöli.

Helyvektorok különböző koordináta-rendszerekben

Egy helyvektorral leírt pont kifejezhető különböző koordináta-rendszerekben, ahol a helyvektor vonatkoztatási pontja rendszerint az origó.

Descartes-koordináták

Descsartes-féle koordináta-rendszerben a helyvektor koordinátái

${\vec {r}}={\vec {r}}\,(x,y,z)={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

Így a Descartes-koordináták egyben a helyvektor koordinátái is.

Hengerkoordináták

A hengerkoordináták alapján a helyvektor koordinátái a megfelelő Descartes-koordináták:

${\vec {r}}={\vec {r}}\,(\rho ,\varphi ,z)={\begin{pmatrix}\rho \,\cos \varphi \\\rho \,\sin \varphi \\z\end{pmatrix}}.$

ahol $\rho$ a pont távolsága a $z$-tengelytől, a $\phi$ szöget az x tengely felől az y tengely felé mérjük. Tehát a $\rho$ és $\varphi$ koordináták az $x$-$y$ síkra vetített pontok polárkoordinátái.

Itt egy leképezésről van szó, ami a $(\rho ,\varphi ,z)$ koordinátákhoz hozzárendeli a helyvektor $(x,y,z)$ koordinátáit.

Gömbkoordináták

Gömbkoordinátákban adott pont esetén is át kell számolni a koordinátákat a megfelelő Descartes-koordinátákba:

${\vec {r}}={\vec {r}}\,(r,\theta ,\varphi )={\begin{pmatrix}r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\r\,\cos \theta \end{pmatrix}}.$

ahol $r$ az origótól mért távolság, a $\varphi$ szög az $x$-$y$ síkban az $x$-tengelytől az $y$-tengely irányába mért szög, a $\theta$ szög pedig a $z$-tengely és a helyvektor által bezárt szög.

Kísérő triéder

Egy felületen vagy görbén történő mozgást pályához kötött koordináta-rendszerben, a kísérő triéderben (más néven természetes koordináta-rendszer-ben) ábrázolnak, amit három, egymásra kölcsönösen merőleges egységvektor alkot. Az egységvektorai: t az érintő (tangenciális), n a főnormális és b, a binormális egységvektor.

A kísérő triéder előállítása a következő:

A térgörbe az $\mathbf {r} (s)=x(s)\mathbf {i} +y(s)\mathbf {j} +z(s)\mathbf {k}$ helyvektor, ahol s paraméter a görbe előjeles ívhossza.

A kísérő triéder egységvektorai:

$\mathbf {t} ={\frac {d\mathbf {r} }{ds}}$ az érintő (tangenciális, e -vel is jelölhetik),

$\mathbf {n} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}$ a főnormális és

$\mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n}$ a binormális egységvektor (azaz a másik két egységvektor vektoriális szorzata).

A kísérő triéder fogalmának a kinematikában van jelentősége. Pl. a Frenet-formulák, azaz a térgörbe kísérő triédere három egységvektorának az ívhossz (s) szerinti deriváltjait megadó összefüggések:

t′(s) = g(s)n(s),

n′(s) = –g(s)t(s) + c(s)b(s),

b′(s) = –c(s)n(s),

ahol g(s) a görbe görbülete és c(s) a torziója.

A helyvektor deriváltjai (sebességvektor, gyorsulásvektor)

Sebességvektor

A helyvektor idő szerinti első deriváltja (differenciálhányadosa) a sebesség (velocitas), jele: v, mértékegysége: méter per szekundum vagy méter per másodperc (m/s).

Egy m anyagi pont kinematikája.
r a helyvektora, v a sebességvektora, a a gyorsulásvektora.

$\mathbf {v} ={\mathbf {\dot {r}} }.$

A sebességvektor a pálya érintőjének az irányába mutat.

A Descartes-féle koordináta-rendszerben:

$\mathbf {v} =\mathbf {\dot {r}} ={\dot {x}}(t)\mathbf {i} +{\dot {y}}(t)\mathbf {j} +{\dot {z}}(t)\mathbf {k} .$

Gyorsulásvektor

A gyorsulás a helyvektornak az idő szerinti második, a sebességnek pedig az idő szerinti első deriváltja, jele: a (acceleratio), mértékegysége: méter per szekundumnégyzet (másként: méter per másodperc a négyzeten): m/s² vagy m*s⁻²:

$\mathbf {a} ={\mathbf {\ddot {r}} }=\mathbf {\dot {v}} .$

Az átlagos gyorsulásvektor iránya megegyezik a Δv sebességváltozás-vektor irányával. Az átlagos gyorsulás független attól, hogyan változik az anyagi pont sebessége a kezdő és végpont között, kizárólag a sebesség vektornak a két pontban felvett értékétől (azok különbségétől) és az időintervallum hosszától függ. Az anyagi pont pillanatnyi gyorsulását az átlaggyorsulás határértéke adja, ha Δt tart a nullához.

További deriváltak

További deriváltakat már nem szoktak keresni. Az ok: az anyagi pontnak a környezetével való kölcsönhatását - az erőt - Nevton II. törvénye a helyvektor második deriváltjával, a gyorsulással kapcsolja össze:

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,$

ahol F az erő, m a tömeg és a a gyorsulás.

A h vektor, a helyvektor idő szerinti harmadik deriváltja például a nagy sebességű íves vasúti pályák geometriai pályáját határozza meg, valamint előidézi a élettani hatásokat, egyben e hatások mértéke is:

$\mathbf {h} ={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}={\overset {...}{\mathbf {r} }}={\overset {...}{x}}(t)\mathbf {i} +{\overset {...}{y}}(t)\mathbf {j} +{\overset {...}{z}}(t)\mathbf {k} .$

Az m vektort, a helyvektor idő szerinti negyedik deriváltját pedig - a vasútnál maradva - a nagy sebességű vasúti pályák geometriai összehasonlító értékelésénél alkalmazzák a mérnökök:

$\mathbf {m} ={\frac {d\mathbf {h} }{dt}}={\overset {....}{\mathbf {r} }}={\overset {....}{x}}(t)\mathbf {i} +{\overset {....}{y}}(t)\mathbf {j} +{\overset {....}{z}}(t)\mathbf {k} .$

Források

• Helyvektor
• Az anyagi pont kinematikája
• FIZIKA I. Mechanika, Hőtan - Kinematika
• Mechanika III.
• II. Mechanika
• Dr. Megyeri Jenő. Vasúti mozgásgeometria. Budapest: Műszaki Könyvkiadó (1986). ISBN 9631059782 
• Természettudományi lexikon II. (D–G). Főszerk. Erdey-Grúz Tibor. Budapest: Akadémiai. 1965. 752. o.
• kísérő triéder (szócikk), TermTudLex. Budapest: Akadémiai Kiadó, 3. kötet, 729. o. (1966) 
• Klaus Desch: Mathematische Ergaenzungen zur Physik II, Kapitel 11: Vektoranalysis. (PDF, 210 kB). Institut für Experimentalphysik, Hamburg.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ortsvektor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.