Lambert-féle W-függvény

A matematikában a Lambert-féle W-függvény, más néven az omega-függvény vagy a logaritmusszorzat-függvény, egy függvény, amely az inverze a z = f(W) = We^W függvénynek, ahol e^W az exponenciális függvény és W egy komplex szám. Tehát a definíció:

A W(x) grafikonja W > −4 és x < 6-ra. A felső rész: W ≥ −1 a W₀ függvény, az alsó rész: W ≤ −1 a W₋₁ függvény.

$z=W(z)e^{W(z)}$

ahol z egy komplex szám.

Mivel az ƒ$\scriptstyle (\cdot )$ függvény nem injektív így W többértékű (kivéve 0-ban). Ha leszűkítjük a függvényt a valós számok halmazára, akkor mind a függvényérték mind az argumentum valós szám lesz, és a függvény csak a −1/e-nél nagyobb argumentumra értelmezhető és kétértékű a ]−1/e-;0[ intervallumon. A W ≥ −1 kikötéssel egy egyértékű függvényt kapunk, amit W₀(x)-vel jelölnek. Adott hogy W₀(0)=0 és W₀(-1/e)=-1. A függvény "alsó részét", ami kielégíti a W ≤ −1 egyenlőtlenséget W₋₁(x)-el jelölik. Ez a függvény csökken, W₋₁(−1/e) = −1-től, W₋₁(0⁻) = −∞ -ig.

A Lambert-féle W nem fejezhető ki elemi függvényekkel. A függvény használatos a kombinatorikában, illetve bizonyos egyenletek megoldásakor amelyek tartalmaznak exponenciális függvényt. Szintén megjelenik bizonyos differenciál egyenletek megoldásakor mint például: y'(t) = a y(t − 1).

Jelölések

A függvény két fő része a $W_{0}$ és a $W_{-1}$

A Lambert-féle W függvényt Johann Heinrich Lambert után nevezték el. A "fő" W₀-et Wp-ként jelöli a Digital Library of Mathematical Functions a W₋₁-et pedig Wm-mel jelölik ugyanitt.

Az itt alkalmazott jelölések (a W₀ és a W₋₁) Corlesstől, Gonnettől, Hare-től, Jeffrey-től és Knuthtól származnak.

Története

Lambert Lambert's Transcendental Equation 1758-as műve vezetett Leonhard Euler 1783-as munkájához, amiben a we^w-t vizsgálta. Az első említése a we^w inverzének 1925-ből Pólyától és Szegőtől származik. A Lambert-féle W-függvényt kb. minden évtizedben "újrafelfedezték" különböző helyzetekben de a fontosságát csak az 1990-es években ismerték el. Az utolsó újrafelfedezés során felismerték hogy a függvény pontos megoldást szolgáltat a kvantummechanikai duplapotenciál-gödör Dirac delta modelljére. Corless és a Maple fejlesztői átnézve a tudományos irodalmat azt találták hogy a függvény sokszor felbukkan a természetben.

Analízis

Derivált

Implicit deriválással bizonyítható, hogy W különböző részei (alsó, felső) kielégítik a következő differenciálegyenletet:

$z(1+W){\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=W\quad {\text{ha }}z\neq -1/e.$

(W nem differenciálható a z = −1/e pontban.) Így W deriváltjára a következőt kapjuk:

${\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{ha }}z\not \in \{0,-1/e\}.$

Továbbá:

$\left.{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}\right|_{z=0}=1.$

Primitív függvény

A W(x) függvény, és egyéb kifejezések, amelyek tartalmazzák W(x)-et, integrálhatóak, a w = W(x) helyettesítéssel, x = w e^w:

$\int W(x)\,{\rm {d}}x=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.$

Aminek a következménye (felhasználva, hogy $W(e)=1$):

$\int _{0}^{e}W(x)\,{\rm {d}}x=e-1$

Sorfejtés

A $W_{0}$ Taylor sora 0 körül megadható a Lagrange inverziós tételének segítségével:

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots$

A konvergenciasugár 1/e, ahogy a hányadoskritériumból látható. A fenti sor által definiált függvény kiterjeszthető holomorf függvénnyé a komplex számok halmzán, kivéve a ]−∞, −1/e] intervallumot.

Nagy x értékekre, W₀ aszimptotikusan egyenlő:

$W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}(-2+L_{2})}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}(6-9L_{2}+2L_{2}^{2})}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3})}{12L_{1}^{4}}}+\cdots$

$W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }\left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-\ell -m}L_{2}^{m}$

ahol, $L_{2}=\ln \ln x$ és $\left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]$ a nemnegatív Stirling szám. Csak az első két tagot megtartva a kifejtésből:

$W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1).$

A másik valós rész a, $W_{-1}$, a ]−∞, −1/e] intervallumon, hasonló közelítéssel rendelkezik ahogy x tart 0-ba tehát: $L_{1}=\ln(-x)$ and $L_{2}=\ln(-\ln(-x))$.

Egész és komplex hatványa a függvénynek

Egész hatványai a $W_{0}$ függvénynek szintén felírhatóak egyszerű Taylor (vagy Laurent) sorként a $0$ pont körül:

$W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2(-n)^{n-3}}{(n-2)!}}\ x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\frac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots$

Általánosabban, $r\in \mathbb {Z} ,$-re, a Lagrange inverziós formula megadja hogy:

$W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}}\ x^{n},$

vagyis, a Laurent sor mértéke r.

Illetve:

$\left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=\exp(-rW_{0}(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r(n+r)^{n-1}}{n!}}\ (-x)^{n},$

ami igaz bármely $r\in \mathbb {C}$-re és $|x|<e^{-1}$-re.

Nevezetes értékek

Bármely nemnulla x algebrai számra, W(x) transzcendens szám. Ezt indirekt módon bizonyíthatjuk: Ha W(x) nemnulla algebrai szám lenne (megjegyzés: vagyis x és W(x) sem nulla), akkor a Lindemann–Weierstrass-tétel, alapján e^W(x) transzcendens, ami implikálja hogy x=W(x)e^W(x) szintén transzcendens, ami ellentmond annak, hogy x algebrai.

$W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}{\rm {i}}$

$W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left({\frac {1}{e}}\leq a\leq e\right)$

$W\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1$

$W\left(0\right)=0\,$

$W\left(1\right)=\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\,dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\approx 0.56714329\dots \,$ (az Omega konstans)

$W\left(e\right)=1\,$

$W\left(-1\right)\approx -0.31813-1.33723{\rm {i}}\,$

$W'\left(0\right)=1\,$

Egyéb formulák

Számos hasznos integrálformula létezik ami W-t tartalmazza. Néhány ezek közül:

$\int _{0}^{\pi }W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;\mathrm {d} x=4{\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {2\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}$

A második azonosság levezethető a

$u=W(x)$

helyettesítéssel ami így a következőket adja:

$x=ue^{u}$

${\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}$

Vagyis:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\mathrm {d} u$

$=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}\mathrm {d} u$

$=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}\mathrm {d} u$

$=\int _{0}^{\infty }u^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}\mathrm {d} u+\int _{0}^{\infty }u^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}\mathrm {d} u$

$=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\frac {1}{2}}e^{-w}\mathrm {d} w+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\mathrm {d} w$ (helyettesítve $u=2w$-t)

$=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\frac {1}{2}}e^{-w}\mathrm {d} w+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\mathrm {d} w$

$=2{\sqrt {2}}\Gamma ({\frac {3}{2}})+{\sqrt {2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})$

$=2{\sqrt {2}}({\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }})+{\sqrt {2}}({\sqrt {\pi }})$

$=2{\sqrt {2\pi }}$

A harmadik azonosság levezethető a másodikból a $u={\frac {1}{x^{2}}}$ helyettesítéssel.

Alkalmazások

Sok egyenlet ami exponenciális függvényt tartalmaz megoldható a W-függvénnyel. Az általános stratégia az, hogy minden ismeretlent egy oldalra viszünk, hogy az egyenletnek Y = Xe^X alakja legyen, ahonnan a W-függvény megadja X értékeit.

Vagyis:

$Y=Xe^{X}\;\Longleftrightarrow \;X=W(Y)$

Példák

1. példa

${\begin{aligned}2^{t}&=5t\\1&={\frac {5t}{2^{t}}}\\1&=5t\,e^{-t\ln 2}\\{\frac {1}{5}}&=t\,e^{-t\ln 2}\\{\frac {-\,\ln 2}{5}}&=(-\,t\,\ln 2)\,e^{(-t\ln 2)}\\W\left({\frac {-\ln 2}{5}}\right)&=-t\ln 2\\t&=-{\frac {W\left({\frac {-\ln 2}{5}}\right)}{\ln 2}}\end{aligned}}$

Általánosságban a

$~p^{ax+b}=cx+d$

egyenlet, ahol

$p>0{\text{ and }}c,a\neq 0$

átalakítható a következő helyettesítéssel:

$-t=ax+{\frac {ad}{c}}$

A helyettesítés után:

$tp^{t}=R=-{\frac {a}{c}}p^{b-{\frac {ad}{c}}}$

ami, a következő megoldásokat adja:

$t={\frac {W(R\ln p)}{\ln p}}$

vagyis a végső megoldás:

$x=-{\frac {W(-{\frac {a\ln p}{c}}\,p^{b-{\frac {ad}{c}}})}{a\ln p}}-{\frac {d}{c}}$

2. példa

$x^{x}=z\,$

$\Rightarrow x\ln x=\ln z\,$

$\Rightarrow e^{\ln x}\cdot \ln x=\ln z\,$

$\Rightarrow \ln x=W(\ln z)\,$

$\Rightarrow x=e^{W(\ln z)}\,,$

vagyis,

$x={\frac {\ln z}{W(\ln z)}},$

mert

$\ln z=W(\ln z)e^{W(\ln z)}\,$

a definíció szerint.

3. példa

Amikor egy komplex végtelen tetráció

$z^{z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}\!$

konvergál, a W-függvény megadja a határértéket:

$c={\frac {W(-\ln(z))}{-\ln(z)}}$

ahol ln(z) jelöli a komplex logaritmust. Ez bizonyítható azzal a megfigyeléssel hogy:

$z^{c}=c$

ha c létezik, vagyis

$z=c^{\frac {1}{c}}$

$\Rightarrow z^{-1}=c^{-{\frac {1}{c}}}$

$\Rightarrow {\frac {1}{z}}=\left({\frac {1}{c}}\right)^{\left({\frac {1}{c}}\right)}$

$\Rightarrow -\ln(z)=\left({\frac {1}{c}}\right)\ln \left({\frac {1}{c}}\right)$

$\Rightarrow -\ln(z)=e^{\ln \left({\frac {1}{c}}\right)}\ln \left({\frac {1}{c}}\right)$

$\Rightarrow \ln \left({\frac {1}{c}}\right)=W(-\ln(z))$

$\Rightarrow {\frac {1}{c}}=e^{W(-\ln(z))}$

$\Rightarrow {\frac {1}{c}}={\frac {-\ln(z)}{W(-\ln(z))}}$

$\Rightarrow c={\frac {W(-\ln(z))}{-\ln(z)}}$

ami az elvárt eredmény.

4. példa

A

$x\log _{b}\left(x\right)=a$

megoldásai

$x=e^{W(a\ln b)}.$

alakúak.

5. példa

Az áramerősség egy összetett ellenállás/dióda kapcsolásban leírható a W függvény segítségével. Lásd dióda modellezés.

6. példa

A

${\dot {y}}(t)=ay(t-1)$

differenciálegyenlet, karakterisztikus egyenlete $\lambda =ae^{-\lambda }$, ami $\lambda =W_{k}(a)$ -hoz vezet és $y(t)=e^{W_{k}(a)t}$-hoz. Ha$a\geq e^{-1}$, csak $W_{0}(a)$ -t kell figyelembe venni.

Általánosítás

A hagyományos W-függvény megadja a pontos megoldásait a transzcendens algebrai egyenleteknek, amik a következő formájúak vagy ilyen formára hozhatóak:

$e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

ahol a₀, c ér r valós konstansok. A megoldás $x=r+{\frac {1}{c}}W\!\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{o}}}\right)\,$.

Grafikon

• A Lambert-féle W-függgvény ábrázolása a komplex síkon
• 
  z = Re(W₀(x + i y))
• 
  z = Im(W₀(x + i y))
• 
  z = W₀(x + i y)
• 

Közelítő eljárások a kiszámítására

A W-függvény közelíthető Newton-módszerrel, egymást követő közelítésekkel $w=W(z)$ (vagyis $z=we^{w}$):

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.$

A W-függvény szintén közelíthető Halley-módszerrel,

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}$

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lambert W function című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• (1996) „On the Lambert W function”. Advances in Computational Mathematics, Berlin, New York 5, 329–359. o, Kiadó: Springer-Verlag. [2010. december 14-i dátummal az eredetiből archiválva]. DOI:10.1007/BF02124750. ISSN 1019-7168. (Hozzáférés: 2014. április 14.)  
• Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A. (2002). „Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2”. IEEE Trans. Signal Processing 50 (9). [2012. március 28-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2014. április 14.)  
• Francis et al. (2000). „Quantitative General Theory for Periodic Breathing”. Circulation 102 (18), 2214. o.   (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
• Hayes, B. (2005). „Why W?”. American Scientist 93, 104–108. o.  
• Sablon:Dlmf
• (2005) „A New Elementary Function for Our Curricula?” (PDF). Australian Senior Mathematics Journal 19 (2), 8–26. o, Kiadó: Australian Association of Mathematics Teachers. ISSN 0819-4564. ERIC EJ720055.  
• (2006) „General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function”. AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) 17 (1), 41–47. o. DOI:10.1007/s00200-006-0196-1.  
• Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010); (2012) „Lambert W function for applications in physics”. Computer Physics Communications 183, 2622–2628. o. DOI:10.1016/j.cpc.2012.07.008.  
• Scott, T. C. (2013). „Asymptotic series of Generalized Lambert W Function”. SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) 47 (185), 75–83. o.  
• Scott, T. C. (2014). „Numerics of the Generalized Lambert W Function”. SIGSAM 48 (1/2), 42–56. o.  
• Maignan, Aude (2016). „Fleshing out the Generalized Lambert W Function”. SIGSAM 50 (2), 45–60. o. DOI:10.1145/2992274.2992275.  

Külső linkek

• National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W
• MathWorld - Lambert W-Function
• Computing the Lambert W function
• Corless et al. Notes about Lambert W research
• Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
• GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.
• Special Functions of the GNU Scientific Library - GSL