Tenzorszámítás (geometria)

Ez a szócikk az R2 és R3 tér másodrendű tenzorainak elméletével foglalkozik. További általánosításokról a tenzor szócikk nyújt eligazítást.

A tenzorszámítás vagy tenzoraritmetika és -algebra a geometriai térbeli tenzorokkal végzett műveletek szabályait foglalja össze. A háromdimenziós térbeli másodrendű tenzorok normált algebrát alkotnak és a lineáris leképezések Lin(R3;R3) terével azonosítható teret képeznek.

A tenzorok lényegében olyan affin leképezéseket leíró (kódoló) matematikai objektumok, melyeknek van fixpontjuk, azaz olyan pont a koordinátatérben, melyet a leképezés saját magába képez (ilyen pont az origó). A tenzorok legjellemzőbb tulajdonsága, hogy függetlenek a koordináta-rendszer választásától. Bár minden tenzornak van mátrixa, és a tenzorműveletek elvégezhetők a mátrixukkal is, ezek a műveletek nem csak számtáblázatokkal végzett számítások, hanem geometriai realitásuk van.

A tenzor definíciójárólSzerkesztés

Egy A tenzor az r vektorral megszorozva egy v vektort eredményez:

 

Ez a szorzat a tenzorok homogén lineáris tulajdonsága folytán érhető tetten. Tetszőleges c1 és c2 skalárral és r1, r2 vektorral:

 

Itt . vektornak skalárral történő szorzása. Eszerint a tenzorok azonosíthatók a lineáris leképezésekkel.

Lásd bővebben: lineáris leképezések.

Ha (b1, b2, b3) ortonormált bázis a térben, akkor az Ar szorzatban r egyértelműen kifejezhető ezek lineáris kombinációjaként és kapjuk: Ar = A(x.b1+y.b2+z.b3) = x.Ab1+y.Ab2+z.Ab3. Vezessük be a következő jelöléseket: a1 = Ab1, a2 = Ab2, a3 = Ab3. Az előbbi alakban x, y, és z az r vektor tengelyekre eső merőleges vetülete, azaz rendre a következő skaláris szorzatok: r b1, r b2, r b3. Tehát az Ar szorzat végeredményben:

 

Tekintve, hogy az r   (r b).a leképezés a diadikus szorzat, azaz b a, ezért rögzítve az (b1, b2, b3) bázist, a tenzor előáll:

 

alakban. Ez azt jelenti, hogy a tenzorok diadikus szorzatok lineáris kombinációi. Ezen a jellemzésen alapul, hogy az algebrában másodrendű tenzoron a diadikus szorzatok által kifeszített alteret értik.

Az absztrakt algebrai definícióra nézve lásd még: tenzor.

A tenzort a B = (b1, b2, b3) rögzített bázisban tehát egyértelműen jellemzi a következő vektorhármas:

 

Illetve az ebből, mint oszlopvektorokból készített alábbi mátrix:

 

KovarianciaSzerkesztés

A tenzorok mátrixaira jellemző praktikus tulajdonság, hogy „a koordináta-rendszerrel együtt transzformálódnak” vagy másként, a tenzorok mátrixai kovariánsak. Ezeket a kijelentéseket a következőképpen értjük. Ha az A tenzort egy V   V lineáris leképezésnek tekintjük, akkor a V geometriai téren értelmezett φ:V   R3 lineáris bijekció a tér egy koordinátázását definiálja. Például akármilyen B bázist rögzítve, a bázishoz tartozó V   R3 kanonikus izomorfizmus egy koordináta leképezés. Az A tenzornak, egy φ koordinátázáshoz tartozó mátrixa (például egy bázis rögzítése esetén) nem más, mint a

 

lineáris leképezés sztenderd bázishoz tartozó mátrixa. Ha ezt [A]φ-vel jelöljük, akkor a tenzor egy másik koordinátázáshoz tartozó [A]ψ mátrixa között a következő összefüggés áll fenn:

 

ahol T = [ψ φ−1], azaz a ψ φ−1 koordináta-rendszer váltó transzformáció mátrixa. Ez a tulajdonság újabb lehetőséget biztosít a tenzor definíciójára. Eszerint, ha minden egyes φ:V   R3 lineáris bijekcióhoz hozzárendelünk egy Mφ mátrixot úgy, hogy bármely két ilyen φ, ψ koordináta leképezés esetén teljesüljön az Mψ = T Mφ T−1 egyenlőség, ahol T a φ és ψ közötti koordináta transzformáció, akkor az (Mφ) mátrixrendszer egyértelműen meghatároz egy tenzort.

Tenzor műveletekSzerkesztés

Tenzorok lineáris tereSzerkesztés

A tenzorokat r   Ar lineáris leképezéseknek tekintve bevezethetjük terükön a skalárral való szorzás és az összeadás műveletét. Ezek egy r vektorhoz következőket rendelik. Ha A és B tenzorok, akkor:

 

Ha emellett λ skalár, akkor

 

A tenzorok vektorterének nulleleme az a 0 tenzor, mely minden r vektorhoz a 0 vektort rendeli

 

Az –A ellentett tenzor az A-nak a -1 skalárral vett szorzata:

 

A tenzortér 9 dimenziós, ha térbeli és 4 dimenziós, ha síkbeli.

Tenzorok algebrájaSzerkesztés

Az A és B tenzor szorzatát definiálva a tenzorok egységelemes algebrát alkotnak. Tetszőleges r vektorra a szorzat értelmezése:

 

Ez lényegében nem más mint a lineáris leképezések kompozíciója. Az egységtenzor az indentitás leképezésnek felel meg:

 

Az A tenzor inverzének (vagy reciprokának) nevezzük az olyan a C tenzort, melyre:

 

Nem minden tenzornak van inverze, de ha van, az egyértelmű.

A tenzorok algebrája nem kommutatív (található A és B, hogy ABBA) és nem nullosztómentes (létezik nemnulla A és B, hogy AB=0)

Geometriai műveletekSzerkesztés

Az A tenzort és a v vektor vektoriális szorzata a következő:

 

Ez a szorzásfajta mindkét tényezőjében lineáris.

Tenzort eredményez azonban két vektor diadikus szorzata:

 

Ahol . a skalárral történő szorzás,   pedig a skaláris szorzás.

Tenzorszimmetriák és -antiszimmetriákSzerkesztés

Azt mondjuk, hogy az A tenzor szimmetrikus, ha tetszőleges u és v vektorra:

 

és azt mondjuk, hogy antiszimmetrikus, ha

 

Ha egy tenzor szimmetrikus, akkor bármely bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix, azaz a főátlóra az elemek tükrösek:

 

vagy másként: aij=aji.

Ha egy tenzor antiszimmetrikus, akkor bármely bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix, azaz a főátlóban csak nullák vannak és a főátlóra az elemek ellentett-tükrösek:

 

vagy másként: aij=–aji.

Ekkor a tenzor egyértelműen előáll a×I alakban, ahol a az (γ,-β,α) vektor, I pedig az egységtenzor. Az antiszimmetrikus tenzorokat szokás éppen ezért pszeudovektoroknak is nevezni.

Tetszőleges A tenzor egyértelműen bontható fel egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegére:

 

Egyetlen olyan A* tenzor létezik, mellyel A + A* szimmetrikus tenzor, AA* pedig antiszimmetrikus. Ezt az A* tenzort az A transzponáltjának nevezzük. Rögzített bázisban a A* mátrixa az A mátrixának transzponáltja:

 

azaz a*ij=aji.

Invariáns mennyiségekSzerkesztés

Maga egy A tenzor független a koordináta-rendszer választásától (csak a mátrixa függ). Ebből a tulajdonságából következik, hogy egy tenzorhoz kapcsolódnak olyan vektor- és skalármennyiségek, melyek szintén függetlenek a koordináta-rendszer rögzítésétől.

NyomSzerkesztés

Egy A tenzor első skalárinvariánsa (a  ) a

spur(A):=a11+a22+a33

mennyiség, azaz tetszőleges mátrixának főátlóbeli elemei összege. (A spur(A) rövidítés magyar elnevezése: „az A nyoma”, másként tr-rel vagy Tr-rel is jelölhető, az angolban meghonosodott trace elnevezés alapján.)

Ugyanis, ha A az A tenzor tetszőleges mátrixa és T koordinátatranszformáció, akkor (felhasználva a mátrix nyomára vonatkozó spur(AB)=spur(BA) felcserélhetőségi tulajdonságot):

 

ahol I az egységmátrix. Ha tehát A tenzor mátrixa, akkor ennek nyoma minden koordináta-rendszerben ugyanaz a szám (skalár).

Adjungált-nyomSzerkesztés

Az A tenzor adjungáltjának nyoma (triviális módon) szintén invariáns (2. skalárinvariáns: a  ):

spur(adj(A))

Itt adj(A) az a tenzor, mely tetszőleges bázis választása esetén az A mátrixának előjeles aldetermináns-mátrixaként jön létre:

 

Ugyanis, adj(A) valóban tenzor, mert tetszőleges A mátrixra és T koordináta-transzformációra (felhasználva a mátrix adjungáltjára vonatkozó adj(AB) = adj(B) adj(A) azonosságot, továbbá az invertálható mátrix inverzének képletét):

 
 

tehát adj(A) úgy transzformálódik, mint az A mátrix, ami viszont tenzor mátrixa. De minden tenzor nyoma invariáns, így spur(adj(A)) is az.

DeterminánsSzerkesztés

Az A tenzor harmadik skalárinvariánsa (a ) tetszőleges mátrixának determinánsa:

 
 

Ugyanis, ha A tenzor, és A egy tetszőleges bázisban a mátrixa, valamint T egy tetszőleges koordináta-transzformáció mátrixa, akkor a mátrixok determinánsának tulajdonságai miatt:

 

A determináns szemléletes jelentése, a bázisvektorok képei által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogata. Világos, hogy akármilyen ortonormált bázisban ez a térfogat ugyanaz, azaz invariáns.

VektorinvariánsSzerkesztés

Minden antiszimmetrikus tenzor előáll a×I vektoriális szorzat formájában, ahol a vektor, I az egységtenzor. Itt a-t az antiszimmetrikus tenzor vektorinvariánsának nevezzük. Egy tetszőleges A tenzor vektorinvariánsán értjük az antiszimmetrikus részének vektorinvariánsát.

Tenzor hatványaSzerkesztés

Az A pozitív egész n-edik hatványának nevezzük az An:=A A  A szorzatot, melyben n tényező szerepel. Tenzor nulladik hatványa az egységtenzor: A0 := I.

A pontosan akkor invertálható, ha det(A) ≠ 0, és ekkor az inverze:

 

Itt adj A mátrixalakban az A mátrixának előjeles aldeterminánsmátrixa.

Invertálható tenzor negatív egész kitevőjű hatvány az inverz pozitív egész kitevőjű hatványai: A−2:=(A−1)2, A−3:=(A−1)3, …

A Caley–Hamilton-tétel következményeként a tenzor gyöke a karakterisztikus polinomnak (lásd lentebb). Azaz, ha P(λ)=λ3-aIλ2+aIIλ-aIII a karakterisztikus polinom, akkor fennáll a következő tenzor egyenlet:

 

itt az együtthatók a tenzor skalárinvariánsai.

Sajátvektor, sajátértékSzerkesztés

Azt mondjuk, hogy a nemnulla v vektor az A tenzor λ sajátértékű sajátvektora, ha teljesül az

 

egyenlőség, azaz A a v-t saját egyenesébe képezi.

A tenzoregyenletet nullára redukálva, tetszőleges bázisban a sajátvektorok a következő (határozatlan) homogén lineáris egyenletrendszerrel jellemezhetők:

 

Ennek az egyenletnek pontosan akkor van nemnulla megoldása, ha a bal oldali mátrix determinánsa 0:

 

Ezt az (invariáns) egyenletet nevezik a tenzor karakterisztikus egyenletének, melyből a sajátértékek, mint gyökök meghatározhatók. A sajátértékeket azután az egyenletrendszere behelyettesítve, és azt megoldva megkapjuk a sajátvektorokat. Megjegyezzük, hogy az R2 térbeli esetben a karakterisztikus egyenlet:

 

Ha a sajávektorokból ortonormált bázis választható ki, akkor ezt főtengelyrendszernek nevezzük. Főtengelyrendszerben a tenzor mátrixa diagonális mátrix, melynek főátlójában a sajátértékek vannak.

Főtengelytétel – Szimmetrikus tenzornak létezik (valós sajátértékekkel, ortonormált) főtengelyrendszere.

HivatkozásokSzerkesztés

  • Fazekas Ferenc, Vektoranalízis (Műszaki matematikai gyakorlatok), Tankönyvkiadó, Bp., 1967