Számtani közép

Matematikai tétel
(Átlag szócikkből átirányítva)

Számtani vagy aritmetikai középértéken darab szám átlagát, azaz a számok összegének -ed részét értjük. A számtani közepet általában betűvel jelöljük:

.

A kiindulási értékeket összeadjuk, majd az összeget elosztjuk az összeadott számok darabszámával. A hétköznapi életben ezt egyszerűen „átlagnak” hívjuk. A matematikában a számtani közép elnevezés a mértani és a harmonikus középtől való megkülönböztetést szolgálja. Ezt a hármat pithagoraszi közepeknek is nevezik.

Ideálisan normális eloszlású, vagy akár csak szimmetrikus eloszlású adatok esetén a számtani közép értéke egybeesik a medián és a módusz értékével. Ha az eloszlás ferde, akkor a számtani közép nem esik egybe a mediánnal és a módusszal, tehát nem ez a leggyakoribb érték, és nem is a középső érték.

A könnyű számítása és értelmezhetősége okán számos területen használják, például statisztikában, történelemben, szociológiában és pénzügyekben. Annak ellenére, hogy statisztikailag nem megfelelően jellemzi a sokaságot, az egy főre jutó jövedelmet számtani középpel számítják. Ennek oka, hogy habár közép felé húz, a számtani közép nem robusztus statisztika, mivel erősen hatnak rá a kilógó adatok, például a kevés magas jövedelem felhúzza a számtani közepet. Ezek hatása csökkenthető a kiugró értékek kiszűrésével, mint például a Dixon teszt vagy a Grubbs teszt, vagy más az eloszlásnak megfelelő statisztikát és középérték-számítást kell választani.

Egy homályos használat szerint, ha x és y számok, akkor bármely számtani sorozat, aminek tagjai a kettő közé esnek, nevezhető x és y számtani közepének.[1]

ÉrtelmezésSzerkesztés

Az a és a b számok számtani közepe m akkor és csak akkor, ha m-a=b-m.

Legyenek   független azonos eloszlású valószínűségi változók   várható értékkel és   szórással, ekkor az   középérték szintén   körül ingadozik, és szórása kisebb, mint  . Ha tehát egy valószínűségi változó várható értéke és szórása is véges, akkor a Csebisev-egyenlőtlenség miatt a mintaközép a minta elemszámának növelésével sztochasztikusan konvergál a valószínűségi változó várható értékéhez. Tehát a számtani közép alkalmas a várható érték becslésére, viszont érzékeny a nem tipikus adatokra (lásd: medián).

A számtani középre vonatkozó alaptételSzerkesztés

Tétel: Ha   valós számok, és  , vagyis   az   és   számok számtani közepe, akkor  . Szemléletesen ez azt jelenti, hogy   az   és a   számoktól egyenlő távolságra (vagyis „középen”) helyezkedik el a számegyenesen. Valóban, hiszen ha  , akkor   és  .

Adott   valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:

 

Algebrai tulajdonságokSzerkesztés

Ha a tetszőleges   számsorozatot tetszőlegesen hosszan bővítjük e számok számtani közepével, akkor az így kibővített sorozat tagjainak számtani középértéke megegyezik az eredeti számtani középpel:

 

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség:

 

Mivel középre húz, alkalmas a centrális tendencia mérésére. Ezek közé tartozik, hogy:

  • Ha az   számok számtani közepe  , akkor  . Ezt azzal szemléltetik, hogy a számtani középtől balra és jobbra levő számok ellensúlyozzák egymást. A számtani közepet egyértelműen meghatározza ez a tulajdonsága, tehát nincs más ilyen tulajdonságú szám.
  • Ha az   számokat egyetlen paraméterrel kell jellemezni, akkor erre a számtani közép a legalkalmasabb, mivel minimalizálja a négyzetes eltéréseket a paramétertől. Ezt a minta négyzetes hibájának, vagy torzított tapasztalati szórásnégyzetnek nevezik.[2] A számtani közép (ilyen kontextusban tapasztalati várható érték) torzítatlanul közelíti a minta várható értékét.

Szembeállítás a mediánnalSzerkesztés

A számtani közép szembeállítható a mediánnal. A medián definíció szerint a minta középső eleme, tehát az elemek fele kisebb, fele nagyobb nála. Páros elemszám esetén a medián a két középső elem számtani közepe. A számtani közép és a medián akkor esik egybe, ha a rendezett sorozat számtani. Például, ha a rendezett sorozat   akkor a számtani közép és a medián is 2,5. Ha például  , akkor a számtani közép 6,2, de a medián 4. A számtani közép lehet sokkal nagyobb, vagy kisebb is, mint a sorozat legtöbb eleme.

A medián és a számtani közép együttes használata elterjedt. Statisztikai elemzések szerint az 1980-as évektől az Amerikai Egyesült Államokban a jövedelem számtani közepe gyorsabban nőtt, mint a mediánja.[3]

Számtani sorozatokSzerkesztés

Számtani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának számtani közepe. Általában   tag az   és   tagok számtani közepe, ha   pozitív egészek. Ennek megfordítása is igaz (ha egy sorozatban bármely két tag a szomszédos tagok számtani közepe, akkor az egy számtani sorozat), mégpedig egyszerű következménye a számtani középre vonatkozó alaptételnek.

Súlyozott számtani középSzerkesztés

A számtani középnek súlyozott változata is értelmezhető. Alkalmazzák például a keverési feladatokban, a valószínűségszámításban és a statisztikában.

A súlyozott számtani közép számítása:

 .

ahol az   számok rendre a   súlyokkal szerepelnek.

A keverési feladatokban   jelöli a koncentrációt vagy a hőmérsékletet, és   a térfogatot, vagy a tömeget.

A statisztikai alkalmazásokban az   adatpontokhoz tartozó   súlyok azt mutatják, hogy az adott adatpont hányszor jelenik meg a mintában.

Több minta összetevésekor az egyes minták középértékeit a megfelelő minták elemszámával súlyozzák.

A valószínűségszámításban, ha az   valószínűségi vektorváltozók közös várható értéke  , de szórásuk rendre  , akkor a súlyozott középérték   körül ingadozik, és szórásnégyzete

 .

Ha most  , akkor

 .

A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség alapján

 .

A   választás minimalizálja a középérték szórását. A súlyok választása mutatja, hogy melyik adatnak mekkora fontosságot tulajdonítunk.

AlkalmazásSzerkesztés

A számtani közepet additív – magyarul összeadható – mennyiségek átlagolására használjuk (például magasságok átlaga, testsúlyok átlaga stb.).

Függvény középértékeSzerkesztés

A Riemann-integrálható függvények középértéke a számtani közép általánosításaként fogható fel.

Az   Riemann-integrálható függvény középértéke

 

Ha most egyenlő osztásközöket veszünk, ahol   osztópontok, és a két szomszédos osztópont közötti távolság  , akkor az

 

számtani közép tart az   középértékhez.

Ha f folytonos, akkor az integrálszámítás középértéktétele szerint létezik  , amire  , a függvény legalább egy helyen felveszi középértékét.

A középértéknek is van súlyozott változata, ahol is a   súlyfüggvény pozitív minden  -re. Ekkor a súlyozott középérték

 .

Az   mértéktérben, ahol  , a Lebesgue-integrálható függvények középértéke

 .

Valószínűségi tér esetén, ahol  , a középérték az

 

alakra hozható, ami éppen az f(x) várható értéke.

Folytonos valószínűségi eloszlásokSzerkesztés

 
Két, különböző ferdeségű lognormális eloszlás középértékeinek középértékeinek (várható érték, medián és módusz) összehasonlítása

Valószínűségi eloszlások esetén annak a valószínűsége, hogy az érték a számegyenes melyik szakaszára esik, különbözhet attól, hogy az érték egy másik, de ugyanolyan hosszú szakaszra esik. Egyenlőség minden szakaszpárra csak geometriai eloszlás esetén áll fenn. A többi esetet eloszlásfüggvénnyel vagy sűrűségfüggvénnyel írják le. A súlyozott átlag megfelelője itt a valószínűségeloszlás várható értéke. A valószínűségeloszlás folytonos, ha eloszlásfüggvénye folytonos. A sűrűségfüggvény létezéséhez az eloszlásfüggvénynek differenciálhatónak kell lennie. Az egyik leggyakrabban használt eloszlásfüggvény a normális eloszlás, ami szimmetrikus a várható értékére, így mediánja és módusza is a várható értéke. Nem szimmetrikus eloszlások esetén ezek különböznek. Egy gyakran használt nem szimmetrikus (ferde) a lognormális eloszlás, amit az ábra is mutat.

SzögekSzerkesztés

Szögek és más hasonló mennyiségek, egy modulus szerinti mennyiségek átlagolására alkalmatlan a számtani közép. Az egyik nehézség az, hogy a két mennyiségnek két távolsága van, amelyek közül a kisebbet szokták távolságon érteni, de a számtani közép lehet, hogy a nagyobb távolságot felezi. Például, ha a két mennyiség 1 és 359 fok, akkor a hagyományos számtani közép 180 fokot ad, pedig a 0 vagy 360 foknak geometriai jelentése is lenne. Egy másik probléma az, hogy a modulo mennyiségek értelmezhetők többféleképpen is. Például 1 és 359 fok helyett lehetne 1 és -1 fok, de lehetne 361 és 719 fok is, ami több különböző eredményt ad. Éppen ezért ezekre a mennyiségekre át kell definiálni a számtani közepet, hogy a moduláris távolságot felezze. Az így definiált mennyiség a moduláris számtani közép, vagy moduláris átlag.

Kapcsolat más közepekkelSzerkesztés

Legyen   egy   intervallumon értelmezett szigorúan növő folytonos függvény. Legyenek továbbá adva a   súlyok. Ekkor az   számok  -vel súlyozott kváziaritmetikai közepe

 .

Nyilván

 .

Így a különböző f függvényekkel különböző közepek definiálhatók.   visszaadja a számtani közepet,   a mértani közepet, és   a k-adik hatványközepet.

Mindezek a közepek függvényekre is általánosíthatók. Ehhez azt kell még kikötni, hogy az f függvény értelmezési tartománya tartalmazza az u függvény képhalmazát. Ekkor az u függvény középértéke:

 

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Foerster, Paul A.. Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition, Classics, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 573. o. (2006). ISBN 0-13-165711-9 
  2. Medhi, Jyotiprasad. Statistical Methods: An Introductory Text. New Age International, 53–58. o. (1992). ISBN 9788122404197 
  3. Paul Krugman, "The Rich, the Right, and the Facts: Deconstructing the Income Distribution Debate", 'The American Prospect'

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Arithmetic mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.