Görbeillesztés (matematika)

A görbeillesztés feladata olyan függvény meghatározása, ami egy adatsor analitikus közelítése.

A függvény grafikonjaként adódó görbére nem feltétlenül illeszkednek a koordinátájú pontok, ilyenkor azt mondjuk, hogy a görbe többé vagy kevésbé jól közelíti a pontsort. Az illeszkedési kritérium különböző lehet csakúgy, mint a görbe, azaz a függvény (függvények) típusa.

A feladat egy általánosítása, amikor a síkon ábrázolható ponthalmazhoz keresünk implicit egyenlettel megadható görbét. Másik általánosítás a adatsort közelítő felület meghatározása. Rokon probléma az adott görbék, görbeívek egyszerűbb görbékkel való helyettesítése.

Alkalmazási területekSzerkesztés

Egy természeti, gazdasági, társadalmi stb. folyamat lefolyását modellező matematikai formula kísérleti meghatározásához méréseket kell végezni. A mérések adatai egyrészt hibákkal terheltek (szóródás), másrészt bizonyos tartományok kimaradhatnak az adatgyűjtésből. Az adatsor  ) számpárjait derékszögű, illetve a problémának jobban megfelelő affin vagy poláris koordináta-rendszerben ábrázolva egy görbe pontjaira emlékeztető pontsort vagy egy pontfelhőt kapunk.

 

Empirikus formulákSzerkesztés

A görbeillesztés egyik célja, hogy a meghatározott   függvény (és esetleg az inverz   függvény (formula) ismeretében a vizsgált folyamat összetartozó   értékpárjait kiszámíthassuk. A másik cél az lehet, hogy a kiválasztott függvény együtthatóit meghatározzuk (például a szabadesés   egyenletében   számértékére kapunk kísérleti becslést).

Illesztési típusokSzerkesztés

InterpolációSzerkesztés

 

Olyan görbét kell keresni, ami minden adatponton áthalad. A „szabálytalan” pontsorhoz szinte sohasem illeszthető egyszerű egyenlettel leírható függvény/grafikon.

Lineáris interpolációSzerkesztés

Az   intervallumokhoz   egyenletű egyenes szakaszokat illesztünk. Ezek egyenként helyettesítik a folyamatot leíró grafikon íveit. A formulák a két ponton átmenő egyenes egyenletével kaphatók:

 

Parabolikus interpolációSzerkesztés

Több,   egymáshoz csatlakozó intervallum feletti görbeívet egy polinom grafikonjával helyettesítjük. A megfelelő együtthatók meghatározásához két formula ismert:

Lagrange-féle interpolációs formula:
 
ahol az   függvények a Lagrange-féle interpolációs polinomok:
 
Newton-féle interpolációs formula:
 
ahol az   kifejezések a Newton-féle interpolációs együtthatók:
 

A formula és ezzel a számolás egyszerűbb, ha az   intervallumok egyenlőek. Főleg tabellált függvényeknél (függvénytáblázatoknál) használják (használták) a táblázatban nem szereplő közbenső értékek számítására. A feladat gyakorlati fontosságát jelzi, hogy több neves matematikus adott meg erre interpolációs formulát: Newton, Bessel, Stirling.

RegresszióSzerkesztés

Mindkét modell esetében alkalmazható eljárás az, ha lemondunk az empirikus   formulával adódó függvénygörbe és a mérési adatokat reprezentáló pontok illeszkedéséről, csupán azt követeljük meg, hogy az   mérési helyeken a mért   és a számított   értékek eltérése minimális legyen. Az eltérés mértékét többféleképpen írhatjuk elő:

1 - Az abszolút hibák összege   legyen minimális.
2 - A hibák négyzetének összege   legyen minimális.

Az első feltételnek eleget tevő   egyenletes közelítés meghatározására nincsenek általános módszerek. A négyzetes hibákat minimáló közelítés meghatározására a Gauss nevéhez kötött, a legkisebb négyzetek módszere nevű algoritmust használják.

Lineáris regresszióSzerkesztés

 

A matematikai statisztika leggyakrabban alkalmazott modellje. Több típusát a legtöbb táblázatkezelő és matematikai szoftver megvalósítja (Excel, Maple V, Matlab stb):

1- Egyszerű kétváltozós regresszió az   elsőfokú függvény együtthatóinak meghatározására szolgál.
2- Inverz regresszió az   inverz relációval illesztett összefüggés a   négyzetes hibaösszeget minimalizálja.
3- Többváltozós lineáris regresszió az összetartozó mérési adatokhoz az összefüggésüket leíró   elsőfokú függvényt határozza meg.

Linearizáló módszerSzerkesztés

A mérési adatokat ábrázoló pontdiagramról látható, hogy egyenes helyett inkább valamilyen, a vizsgált jelenség tulajdonságaiból is következtethető görbe illik a modellhez. A legkisebb négyzetek módszere ekkor is alkalmazható, de a számolás ilyenkor a formula jellegéből fakadóan nehézkesebb. A linearizáló módszer abból áll, hogy az eredeti   változók helyett, velük összefüggő, de egymással lineáris kapcsolatban lévő   változókat vezetünk be.

Például az   empirikus formulából az   helyettesítésekkel az   lineáris kapcsolat adódik. Ennek   együtthatóit meghatározva az eredeti formula konstansai adódnak:  .

Középértékek módszereSzerkesztés

A linearizáló módszer esetenként nem eléggé pontos. Javítható a becslés, ha az adathalmazt két vagy több részre osztjuk és mindre elvégezzük a számítást. Az egyes paraméterek számított értékeinek számtani (vagy súlyozott) közepét képezzük.

Spline (szplájn) approximációSzerkesztés

Az adatsort szakaszonként közelítő görbeívek érintője a csatlakozási pontokban közös. Az érintőkben a nyelvtani többes azt jelenti, hogy a csatlakozó görbéknek az adott pontban közös lehet az elsőrendű (egyenes), a másodrendű (simulókör) stb. érintője. Minél magasabb rendben érintkeznek, annál simább a spline, annál tökéletesebb illesztés. A spline approximációt nem csak adatsorok közelítésére, hanem komplikált, nehezen kezelhető egyenletű görbék helyettesítésére használják. (L.: Kosárgörbe, klotoid, átmeneti ív.) A számítógépes grafikában a szabálytalan vonalakat Bèzier-spline-ok alkalmazásával digitalizálják. (Az alábbi példában a lineáris spline-t (kék vonal) az adatokhoz (piros pontok) illesztjük.)

 

További elérhető illusztrációk:

IrodalomSzerkesztés

  • Bartsch, Hans-Jochen: Matematische formeln (Veb Fachbuchverlag, Leipzig, 1967) (németül)
  • Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv (Műszaki, 1987) ISBN 963 1053091
  • Hack F. & all.: Négyjegyű függvénytáblázatok etc. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004) ISBN 978-963-19-5703-7
  • Reinhardt – Soeder: SH Atlasz – Matematika (Springer-Verlag, 1993)

További információkSzerkesztés