A polinombázisok bázisok a polinomok vektorterében. A legfeljebb n-edfokú polinomok n+1 dimenziós vektorterében az általában használt polinombázisok első n+1, legfeljebb n-edfokú eleme bázist ad.

Egyváltozós esetben a szóba jövő polinomok értelmezhetők a valós számokon, ennek egy intervallumán vagy a komplex számok fölött. Többnyire valós számok fölötti polinomokkal foglalkozunk.

Az elméleti fizikában fontos szerepet kapnak a polinombázisok, például az elektrodinamikában és a kvantummechanikában.

Ortogonális polinomokSzerkesztés

Polinomok esetén a bezárt szög meghatározása a következőképpen történik: legyen két polinom a P(x) és a Q(x). Általánosított skalárszorzatuk

 

ahol [a, b] adott intervallum és ρ(x) pedig adott súlyfüggvény, a közrezárt szög pedig

 

ahol az arccos() a koszinuszfüggvény inverze, a | | pedig az L2-normát jelöli:

 

Két nem nulla normájú polinom akkor merőleges (más szóval ortogonális), ha a fentiekben definiált Θ közrezárt szög 90°, azaz akkor és csak akkor, ha a skalárszorzatuk éppen nulla:

 

Egy nulla normájú polinomot definíció szerint ortogonálisnak tekintünk minden más polinommal. Könnyen belátható a definícióból, hogy az ortogonalitás szimmetrikus reláció, vagyis ha P(x) és Q(x) ortogonális polinomok, akkor Q(x) és P(x) is ortogonálisak.

PéldaSzerkesztés

Vegyük a P(x) = 2x + 3 és a Q(x) = 5x2 + x − 17/9. másodfokú függvényeket! Ezek ortogonálisak a −1 és 1 közötti intervallumon a ρ(x)=1 súlyfüggvény mellett. Szorzatuk 10x3 + 17x2 − 7/9 x − 17/3 és:

 

Egy nem ortogonális bázisSzerkesztés

Valós számok felett értelmezett legfeljebb n-ed fokú egyváltozós polinomok esetén természetesen adódó bázis az (1, x, x2, x3, …, xn) választás. Ezek a bázist alkotó polinomok azonban nagyon különböző szögeket zárnak be egymással. Könnyen ellenőrizhető ugyanis, hogy a −1 és 1 közötti intervallumon a ρ(x)=1 súlyfüggvény mellett

 
 
 
 

Az 1 és az x2 által bezárt szög

 

az 1 és az x4 által bezárt szög

 

az x2 és az x4 által bezárt szög pedig

 

Belátható, hogy ha továbbmennénk ezzel a számolással, akkor az árkuszkoszinusz-függvény argumentumában mindig különféle 1-nél kisebb számok fognak szerepelni, tehát a bezárt szögek különféle 90°-nál kisebb hegyesszögek lesznek.

A fizikai alkalmazásokban külön gondot jelent a súlyfüggvény is: ilyenkor még ferdébb lehet a bázis, és nehéz lehet a szögek kiszámítása és a bázis használata. Megoldás lehetne ennek megfelelően súlyfüggvényt választani, de sokkal célszerűbb a bázist igazítani a súlyfüggvényhez.

Keressünk most olyan bázist, amelynek adott súlyfüggvény mellett minden eleme minden másikkal párban ortogonális!

Ortogonális bázisokSzerkesztés

Legendre-féle polinomokSzerkesztés

Természetes gondolat, hogy ha a fenti monomok ilyen hegyes szögeket zárnak be egymással, akkor ortogonalizálni (merőlegesíteni) kell őket.

Pn(x) (n = 1, 2, ...) Legendre-polinomokról akkor beszélünk, ha

  • a skalárszorzat a következő:   minden Pn és Pm párra, azaz az intervallum [-1,1], a súlyfüggvény pedig  , és
  • a Pn polinomok páronként ortogonálisak egymással e skalárszorzat szerint, és
  • minden Pn(x) esetében Pn(1) = 1.

Speciálisan ilyen polinomokat szolgáltat a Gram–Schmidt-féle ortogonalizáló eljárás iteratív alkalmazása az   monomokra.

Az első néhány Legendre-polinom:

 
 
 
 
 
 

Megkaphatók ezzel a rekurziós formulával:  

A Legendre-polinomok fontos szerepet játszanak az elméleti fizikában, különösen az elektrodinamikában és a kvantummechanikában.

Jacobi-féle polinomokSzerkesztés

A Legendre-polinomoknál általánosabb Jacobi-féle polinomok kétparaméteres családot alkotnak. α és β választásától függően különböző ortogonális rendszerek adódnak.

  • Jelölésük: Pn(α,β)(x)
  • Tartóintervallumuk: [-1, 1]
  • Súlyfüggvény a skalárszorzatban: ρ(x) = (1–x)α(1+x)β

Ebbe a családba tartoznak a Legendre-polinomok is az α = β = 0 értékválasztással.

Különböző speciális eseteit használják, például a kvantumfizikában vagy az interpolációs eljárásokban.

Csebisev-féle polinomokSzerkesztés

A Jacobi-féle polinomok egy alcsaládja az α=β=1/2 választással. Ekkor a súlyfüggvény : , és a [-1,1] intervallumon teljesül:

 

Az első néhány Csebisev-polinom:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Megkaphatók ezzel a rekurziós formulával:

 

vagy trigonometrikus függvények segítségével:

 

Az interpolációs eljárásokban kitüntetett szerep jut a Csebisev-polinomok gyökeinek: ha a közelítendő függvényt itt értékelik ki, akkor az interpoláció hibája olyan kicsi lesz, amilyen kicsi csak lehet.

A rekurziós képlettel bizonyíthatók a következők:

  • A páratlan fokú Csebisev-polinomok oszthatók x-szel
  • A páratlan fokú Csebisev-polinomok páratlan, a páros fokúak csak páros kitevőjű tagokból állnak
  • A páros fokúak konstans tagja +1 vagy -1
  • A páros fokúak többi együtthatója páros
  • T1-től kezdve a főegyüttható 2 hatványa, mégpedig az n-ediké 2n-1

Hermite-polinomokSzerkesztés

Ha a polinomokra a teljes számegyenesen van szükség, de a távoli értékeket kevésbé akarják figyelembe venni, akkor az Hermite-polinomok megfelelő választásnak bizonyulhatnak. Itt a súlyfüggvény  , és az intervallum a valós számok halmaza.

Ekkor a skalárszorzat  . Eszerint az Hermite-polinomok ortogonálisak.

Az első néhány Hermite-polinom:

 
 
 
 
 

Megkaphatók ezzel a rekurziós formulával:  

Az Hermite-polinomokat is alkalmazzák a fizikában, például a kvantummechanikában.

ForrásokSzerkesztés

  • Stoyan Gisbert - Takó Galina: Numerikus módszerek 1.
  • I.N. Bronstein u.A.: Taschenbuch der Mathematik 5. kiadás Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun, 2001 ISBN 3-8171-2005-2
  • Milton Abramowitz - Irene Stegun: Abramowitz-Stegun|Pocketbook of Mathematical Functions
  • Murray R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw-Hill
  • Eric W. Weisstein. „Hermite Polynomial.“ From MathWorld -A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
  • Jegyzet a Schülerforschungszentrum Bad Saulgau -tól [1]