Valószínűségi tömegfüggvény

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztikában a valószínűség tömegfüggvény annak a valószínűségét adja meg, hogy valamely diszkrét valószínűségi változó egy pontosan határozott értéket vesz fel. A valószínűség tömegfüggvény gyakran a diszkrét valószínűség-eloszlás meghatározásának az elsődleges módszere. Segítségével az eloszláshoz egyértelműen hozzárendelhető egy eloszlásfüggvény. Megfordítva, egy diszkrét eloszláshoz tartozó eloszlásfüggvény is egyértelműen meghatározza a valószínűségi függvényt.

Többnyire olyan eloszlásokat vizsgálnak, amelyek természetes számokat vesznek fel értékként. A függvény minden természetes számhoz hozzárendeli annak valószínűségét. Például egy szabályos dobókockával való dobáshoz egytől hatig az egészekhez${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$-ot, ezen kívül nullát rendel.

A valószínűség tömegfüggvény abban különbözik a sűrűségfüggvénytől, hogy ez utóbbi inkább folytonos eloszlások jellemzője, mint a diszkrét eloszlásoké. Mértékelméleti szempontból sűrűségfüggvény a számossági mérték szerint. Általánosabb összefüggésben súlyfüggvénynek is nevezik.

Tömegfüggvény: minden érték nemnegatív és összegük=1

Formális meghatározás

Dobókocka tömegfüggvénye

Az ábrán egy dobókocka valószínűség tömegfüggvénye látható. Minden számnak egyenlő esélye van, és határozott értéke van.

Tegyük fel, hogy X: S → A (A $\subseteq$ R) egy diszkrét valószínűségi változó, mely az S mintatérben van. Ekkor a valószínűség tömegfüggvény f_X: A → [0, 1] ahol X:

$f_{X}(x)=\Pr(X=x)=\Pr(\{s\in S:X(s)=x\}).$

A valós számokra kiterjesztve a definíció

$f(x)={\begin{cases}P(X=x_{i})=p_{i},&x=x_{i}\in \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\dots \}\\0,&{\text{ különben.}}\end{cases}}$

Jegyezzük meg: f_X valós szám, f_X(x) = 0 minden x $\notin$ X(S)-re. Lényegében hasonló meghatározás érvényes a diszkrét valószínűségi vektorokra is: X: S → Aⁿ, ahol a skalár értékeket vektorra cseréljük. A teljes valószínűség minden X-re 1-gyel egyenlő.

$\sum _{x\in A}f_{X}(x)=1$

Mivel a X ábrázolása megszámlálható mennyiség, a valószínűség tömegfüggvény f_X(x) mindenhol zéró, kivéve az x megszámlálható értékeire. A valószínűség tömegfüggvény diszkontinuitása azért van, mert egy diszkrét valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvénye is diszkontinuit, azaz nem folytonos. Ahol differenciálható, a deriváltja zéró, pont úgy, ahogy a valószínűség tömegfüggvény is zéró minden ilyen ponton.

Valószínűségeloszlás konstrukciója

Adva legyen az $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$ függvény, amit jellemeznek a következők:

• $f(i)\in [0,1]$ minden $i\in \mathbb {N}$ esetén. Tehát $f$ minden természetes számhoz hozzárendel egy nulla és egy közötti valós számot.
• $f$ normált abban az értelemben, hogy értékeinek összege egy. Azaz

$\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=1$.

Ekkor $f$ valószínűségi tömegfüggvény, és definíciója

$P(\{i\}):=f(i)$ minden $i\in \mathbb {N}$ esetén egy egyértelmű $P$ valószínűségeloszlás, ellátva a ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ eseményalgebrával.

Valószínűségeloszlásból származtatva

Adva legyen egy $P$ valószínűségeloszlás az $\mathbb {N}$ természetes számokon, ellátva a ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ eseményalgebrával. Legyenek továbbá értékei az $\mathbb {N}$ halmazból! Ekkor az $f_{P}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$ függvény, aminek definíciója

$f_{P}(i):=P(\{i\})$

a $P$ valószínűségi tömegfüggvénye. Hasonlóan, az $f_{X}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$ függvény az

$f_{X}(i):=P(X=i)$

definícióval az $X$ valószínűségi tömegfüggvénye.

Példák

Tegyük fel, hogy egy érem minden dobásnál egy S térben van, és X a valószínűségi változó, mely 0, ha ’írás’, és 1, ha ’fej’. Mivel az érem szabályos, a valószínűség tömegfüggvény:

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x\in \{0,1\},\\0,&x\notin \{0,1\}.\end{cases}}$

Ez a binomiális eloszlás egy speciális esete.

A binomiális eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye

$f_{n,p}(k)={\begin{cases}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}&{\text{ ha }}k\in \{0,1,\dots ,n\}\\0&{\text{ egyébként}}\end{cases}}$

ahol $n$ és $p\in (0,1)$ az eloszlás paraméterei ( $n$ természetes, $p\in (0,1)$ valós szám). A normáltság következik a binomiális tételből, hiszen

$\sum _{k=0}^{\infty }f_{n,p}(k)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=((1-p)+p)^{n}=1$.

A geometriai eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye

$f_{p}(k)=p(1-p)^{k}$ ha $k\in \{0,1,2,\dots \}$

egy rögzített $p\in (0,1)$ paraméterrel. A normáltság a geometriai sorból következik, mivel

$\sum _{k=0}^{\infty }f_{p}(k)=p\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}={\frac {p}{1-(1-p)}}=1$.

Általánosabb valószínűségi tömegfüggvény

A definíció kiterjeszthető általánosabb diszkrét eloszlásokra is, ahol az értékek nem feltétlenül természetes számok, de legfeljebb megszámlálhatóan végtelen van belőlük. Legyen $\Omega$ egy ilyen halmaz, és legyen $f\colon \Omega \to [0,1]$ függvény úgy, hogy

$\sum _{i\in \Omega }f(i)=1$,

ekkor $f$ alapján definiálható egy eloszlás:

$P(\{i\}):=f(i)$ minden $i\in \Omega$ valós számra.

Ez az eloszlás egyértelmű az $(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))$ eseményalgebrán.

Megfordítva, ha $P$ valószínűségeloszlás az $(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))$ eseményalgebrán, és $X$ egy valószínűségi változó, amely értékeit az $\Omega$ halmazból veszi fel, akkor az $f_{P}\colon \Omega \to [0,1]$ függvény, amelynek definíciója

$f_{P}(i):=P(\{i\})$,

a $P$ valószínűségeloszlás általánosított valószínűségi tömegfüggvénye. Továbbá az $X$ valószínűségi változó valószínűségi tömegfüggvénye egy $f_{X}\colon \Omega \to [0,1]$ függvény:

$f_{X}(i):=P(X=i)$

Alternatív definíció

Egyes szerzők először definiálják a $(p_{i})_{i\in \Omega }$ valós sorozatokat azzal, hogy $p_{i}\in [0,1]$ minden $i\in \Omega$ esetén és $\sum _{i\in \Omega }p_{i}=1$. Elnevezik ezeket a sorozatokat valószínűségi vektoroknak vagy sztochasztikus soroknak, vektoroknak.

Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény egy $f\colon \Omega \to [0,1]$ függvény, melynek definíciója

$f(i)=p_{i}$ minden $i\in \Omega$ esetén. Megfordítva, minden $\Omega$n értelmezett valószínűségeloszláshoz vagy valószínűségi változóhoz tartozik egy $(P(\{i\}))_{i\in \Omega }$ fölötti valószínűségi vektor, illetve $(P(X=i))_{i\in \Omega }$ valószínűségi vektor.

Vannak továbbá szerzők, akik magát a $(p_{i})_{i\in \Omega }$ valószínűségi vektort nevezik valószínűségi tömegfüggvénynek.

További példák

Tipikus példa a diszkrét egyenletes eloszlás egy véges $\Omega$ halmazon. Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény

$f(i)={\tfrac {1}{|\Omega |}}$ minden $i\in \Omega$ esetén.

Véletlen sorozatok segítségével is konstruálható a valószínűségi tömegfüggvény: Legyen $(a_{i})_{i\in \Omega }$ pozitív valós számok legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sorozata, az $\Omega$ indexhalmazzal, azzal együtt, hogy

$\sum _{i\in \Omega }a_{i}<\infty$.

Ekkor

$c=\sum _{i\in \Omega }a_{i}$.

Ezzel $({\tfrac {a_{i}}{c}})_{i\in \Omega }$ sztochasztikus sorozat, ami valószínűségi tömegfüggvényt definiált. Ha például az

$a_{k}:={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$ ha $k\in \mathbb {N}$,

sorozatot tekintjük, akkor

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=e^{\lambda }$ a normálási konstans.

Tehát a valószínűségi tömegfüggvény

$f(k)=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$, ami a Poisson-eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye.

Valószínűségi változók mérőszámai

A valószínűségi változók és valószínűségeloszlások fontos mérőszámai meghatározhatók a valószínűségi tömegfüggvény alapján.

Várható érték

Ha $X$ valószínűségi változó $\mathbb {N}$-beli értékekkel, és $f_{X}$ valószínűségi tömegfüggvénnyel, akkor várható értéke

$\operatorname {E} (X)=\sum _{k=0}^{\infty }k\cdot f_{X}(k)$.

Ez mindig létezik, de lehet végtelen is.

A várható érték általános esetben hasonlóan számítható, de nem biztos, hogy létezik. Legyen $\Omega \subset \mathbb {R}$ legfeljebb megszámlálható végtelen halmaz, és vegyen fel az $X$ valószínűségi változó $\Omega$-beli értékeket, továbbá legyen valószínűségi tömegfüggvénye $f_{X}$, ekkor a várható érték, ha létezik, akkor

$\operatorname {E} (X)=\sum _{k\in \Omega }k\cdot f_{X}(k)$.

Szórás

A szórásnégyzet, szórás is kiszámítható. Legyen $X$ valószínűségi változó $\mathbb {N}$-beli értékekkel, és $f_{X}$ valószínűségi tömegfüggvénnyel, akkor szórásnégyzete

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{k=0}^{\infty }(k-\mu )^{2}f_{X}(k)$,

ahol $\operatorname {E} (X)=\mu$ a várható érték.

Az eltolási tételt felhasználva

$\operatorname {Var} (X)=-\mu ^{2}+\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}f_{X}(k)$

Hasonlóan, ha az értékek $\Omega$-ból valók:

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{k\in \Omega }(k-\mu )^{2}f_{X}(k)$

feltéve, ha a szórás létezik.

Módusz

A diszkrét valószínűségi változó módusza a valószínűségi tömegfüggvény alapján értelmezhető: Ha az $X$ valószínűségi változó $\mathbb {N}$-ből vesz fel értékeket, és valószínűségi tömegfüggvénye $f$, akkor módusza $k_{\text{mod}}=f(k-1)\leq f(k_{\text{mod}})\geq f(k+1)$.

A módusz hasonlóan értelmezhető, ha a valószínűségi változó helyett valószínűségeloszlásból indulunk ki. A módusz szintén

$k_{\text{mod}}=f(k-1)\leq f(k_{\text{mod}})\geq f(k+1)$.

Általában, ha $\Omega$ legfeljebb megszámlálható végtelen, és rendezhető az $x_{k}$ sorozatba úgy, hogy $\dots <x_{k-1}<x_{k}<x_{k+1}<\dots$, akkor $x_{k}$ módusz, hogyha

$f(x_{k-1})\leq f(x_{k})\geq f(x_{k+1})$

Tulajdonságok

Eloszlásfüggvények

Ha $f$ valószínűségi tömegfüggvény $\mathbb {N}$-en, akkor az eloszlásfüggvény a megfelelő valószínűségi mérték szerint

$F_{P}(x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }f(i)$

ahol $\lfloor x\rfloor$ az egészrészfüggvény, azaz a legnagyobb egész szám, ami nem nagyobb $x$-nél (kisebb, vagy egyenlő vele).

Ha $f$ a legfeljebb megszámlálható végtelen $A\subset \mathbb {R}$ halmazon van értelmezve, akkor a valószínűségi mérték eloszlásfüggvénye

$F_{P}(x)=\sum _{i\leq x}f(i)$.

Például lehet $A=\mathbb {Z}$, vagy $A=\mathbb {Q}$.

Valószínűségi változók összege és konvolúciója

A diszkrét valószínűségi változók esetén a valószínűségeloszlások konvolúciója visszavezethető a valószínűségi tömegfüggvények konvolúciójára. Legyenek $P,Q$ valószínűségeloszlások, és valószínűségi tömegfüggvényeik rendre $f_{P}$ és $f_{Q}$, ekkor

$f_{P*Q}=f_{P}*f_{Q}$,

ahol $P*Q$ a $P$ és $Q$, $f*g$ az $f$ és $g$ konvolúciója. Tehát a valószínűségeloszlások konvolúciójának valószínűségi tömegfüggvénye ugyanaz, mint valószínűségi tömegfüggvényeik konvolúciója.

Ez a tulajdonság egyszerűen átvihető független valószínűségi változókra. Ha $X,Y$ független valószínűségi változók rendre az $f_{X}$ és $f_{Y}$ valószínűségi tömegfüggvényekkel, akkor

$f_{X+Y}=f_{X}*f_{Y}$.

Tehát az összeg valószínűségi tömegfüggvénye a valószínűségi változók valószínűségi tömegfüggvényének konvolúciója.

Valószínűséggeneráló függvény

$\mathbb {N}$-en minden valószínűségeloszláshoz hozzárendelhető valószínűséggeneráló függvény. Ez polinom vagy hatványsor, melynek együtthatói rendre éppen a valószínűségi tömegfüggvény értékei. Így a definíció

$m_{P}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{P}(k)t^{k}$,

ahol $f_{P}$ egy $P$ valószínűségeloszlás valószínűségi tömegfüggvénye. Hasonlóan definiálható valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye is.

A valószínűséggeneráló függvények megkönnyítik a valószínűségeloszlások vizsgálatát és a velük való számolást. Így például konvolúció helyett elég szorozni, majd a valószínűséggeneráló függvényből visszakövetkeztetni. Az eloszlás fontos adataira (mint várható érték, szórás) is lehet a valószínűséggeneráló függvényből következtetni.

Irodalom

• Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A: Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). (hely nélkül): Wiley. 1993. ISBN 0-471-54897-9  
• Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
• David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6 
• Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átnézett, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-21025-9 
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt. Mathematische Statistik. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-17260-1 
• Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Wahrscheinlichkeitsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Binomiális eloszlás
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika