Főmenü megnyitása

Van Hove-szingularitás

nanofizikai jelenség

A szilárdtestfizikában a van Hove-szingularitás egy szilárdtest állapotsűrűségének olyan anomális pontja, mely bizonyos esetekben szinguláris pont is lehet, mely esetben az állapotsűrűség divergálhat. Gyakran kvanzumbezárás következtében lép fel, mely például a nanoszerkezetek esetén jellemző jelenség. Az állapotsűrűség szingularitásainak fontos szerepe van például a szilárd anyagok karakterisztikus optikai átmenetek, vagy gerszetési jelenségeinek leírásakor.

Kritikus pontoknak nevezik a Brillouin-zóna azon pontjait (illetve az ezen pontokat megadó hullámszámvektorokat), melyekben ilyen szingularitása van az állapotsűrűségnek.

Nevét a belga fizikus Léon Van Hove-ról kapta, aki 1953-ban hívta fel a figyelmet arra, hogy a fononok állapotsűrűségében szinguláris pontok alakulhatnak ki.[1]

Fizikai jellemzéseSzerkesztés

Fonon-állapotsűrűségSzerkesztés

A fonon-állapotsűrűségben kialakuló van Hove-szingularitások elméleti kimutatása során az egyszerűség kedvéért egydimenziós rács rezgéseiből érdemes kiindulni. Ha   darab atom egydimenziós láncát tekintjük, melyben a szomszédos atomok között nyugalmi helyzetben egyenlő   távolság van, akkor a lánc teljes hossza  . A láncon terjedő rezgések számára periodikus határfeltételt célszerű szabni:[2]

 ,

ahol   a hullámhossz,   pedig egész szám, melynek pozitív értékei tartoznak az előrefelé, negatív értékei a visszafelé terjedő hullámmegoldásokhoz. A legrövidebb hullámhossz  , melyből a fogalmak definíciói szerint kifejezhető a legnagyobb hullámszám:  , illetve a legnagyobb  . A rácsrezgéseket reprezentáló fononok állapotsűrűségét (egy adott  hullámszámtartományban található állapotok számát) az alábbiak szerint adhatjuk meg:

 .

Három dimenzióban az alábbi eredményre jutottunk volna:

 ,

ahol   a hullámszámtérbeli térfogatelem, melyben az állapotokat összegezzük. A hullámszámok energiafüggésének (azaz a diszperziós relációnak) ismeretében, és a

 

láncszabály felhasználásával (itt   a hullámszámtérbeli gradients jelenti) az energiafüggő állapotsűrűség megadható :

 ,

 
Szimulált példa egy háromdimenziós szilárdtest állapotsűrűségének van Hove-szingularitásaira. A kritikus pontokat nyíl jelzi

ahol az integrálást az ekvienergiás   felületek mentén kell elvégezni. Az adott E energiához tartozó, hullámszámtérbeli pontok a k-térben felületet alkotnak, melyre E gradiensvektora minden pontban merőleges.[3] Választható a hullámszámtérben egy új   koordináta-rendszer úgy, hogy   épp merőleges legyen a felületre, így   irányába essen. Ha ezt az új koordináta-rendszert csupán elforgatással fedésbe lehet hozni  -vel, akkor a tárfogatelem azonos lesz:  , így   adódik, mellyel az energiafüggő állapotsűrűség:

 ,

ahol   az ekvienergiás felület egy felületeleme.

A diszperziós reláció hatása az állapotsűrűségreSzerkesztés

A fononok   állapotsűrűségének fenti kifejezéséből az következik, hogy ahol az   diszperziós relációnak extrémuma (azaz szélsőértéke, vagy inflexiója) van, ott a   állapotsűrűség anomális lesz. Ezen   hullámszámokon tehát van Hove-szingularitások jelennek meg.

További számolással kimutatható,[4] hogy a van Hove-szingularitás jellegét megszabja, hogy az adott   hullámszámon a diszperziós relációnak lokális minimuma, lokális maximuma, illetve nyeregpontja van-e. Ezen kívül egyes dimenziókban a szingularitás jellege az alábbiak szerint különbözik:[5]

  • Háromdimenziós esetben   állapotsűrűség nem divergál, viszont a deriváltja igen, tehát  -nek törései lesznek.
  • Kétdimenziós esetben   logaritmikusan divergál (azaz igen lassan, de a végtelenbe tart)[6]
  • Egydimenziós esetben pedig magának a   állapotsűrűségnek is szakadása van, ahol   értéke nulla.

Kísérleti megfigyeléseSzerkesztés

Egy szilárdtest optikai abszorpciós spektruma a sávszerkezetből származtatható a Fermi-féle aranyszabály alkalmazásával. Az aranyszabályban szereplő állapotsűrűség a vezetési és vegyértéksávok együttes sűrűségfüggvénye, azaz azon állapotok száma, melyek között adott energiakülönbség áll fenn. Olyan anyagok esetén, melyeknek állapotsűrűségében van Hove-szingularitások vannak, anomális spektroszkópiai jellemzőkre, például bizonyos energiákon kiugró átmenetekre lehet számítani.

Egyes alacsony dimenziós nanoszerkezetek (például nanoszalagok, nanopálcák, nanocsövek) optikai vizsgálata segít feltárni az állapotsűrűség szingularitásait, mellyel szerkezeti és elektronszerkezeti információk nyerhetők az anyagról.[7]

JegyzetekSzerkesztés

  1. Van Hove 1953.
  2. Lásd 2.9-es összefüggést itt: http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/BandMT_02.pdf, ahol   periodikus potenciálból   következik
  3. Ziman, John. Principles of the Theory of Solids. Cambridge University Press. ISBN B0000EG9UB (1972) 
  4. * Bassani, F.. Electronic States and Optical Transitions in Solids. Pergamon Press (1975). ISBN 0-08-016846-9 
  5. 6.2.4. Van Hove Singularities. (Hozzáférés: 2017. december 6.) A szingularitás jellegének függése a dimenziótól és a diszperziós reláció extrémumának típusától.
  6. What is a logarithmic divergence?. physics.stackexchange.com. (Hozzáférés: 2017. december 6.)
  7. Brihuega et al., I. (2012. november 8.). „Unraveling the Intrinsic and Robust Nature of van Hove Singularities in Twisted Bilayer Graphene by Scanning Tunneling Microscopy and Theoretical Analysis”. Physical Review Letters 109 (19), Kiadó: Amerikai Fizikai Társaság. DOI:10.1103/physrevlett.109.196802. ISSN 0031-9007.  

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Van Hove singularity című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

ForrásokSzerkesztés

SzakkönyvekSzerkesztés

  • Bassani, F.. Electronic States and Optical Transitions in Solids. Pergamon Press (1975). ISBN 0-08-016846-9 
  • Charles Kittel: Bevezetés a szilárdtest-fizikába. Budapest: Műszaki Könyvkiadó. 1981.  
  • Thomas Ihn: Semiconductor Nanostructures: Quantum states and electronic transport. Oxford: Oxford University Press. 2009. ISBN 9780199534432  
  • Sólyom Jenő: A modern szilárdtest-fizika alapjai II: Fémek, félvezetők, szupravezetők. Budapest: ELTE Eötvös Kiadó. 2010. ISBN 9789633120286  
  • Rolf Koole et al.. Size Effects on Semiconductor Nanoparticles, Nanoparticles. Springer Berlin Heidelberg. DOI: 10.1007/978-3-662-44823-6_2 (2014). ISBN 978-3-662-44822-9 

Tudományos közleményekSzerkesztés