Kommutatív algebra

A kommutatív algebra az algebra egy részterülete. Kommutatív gyűrűkkel és a felettük létező modulusokkal foglalkozik. Mind az algebrai számelmélet, mind az algebrai geometria alapvető módon épít a kommutatív algebra eredményeire. Utóbbiban a kommutatív algebra biztosítja az ún. sémák lokális vizsgálatának eszközeit.

Emmy Noether, a kommutatív algebra úttörő kutatója által E. Fischernek írt, Noether kommutatív algerbai munkájáról szóló levelezőlap

Fontos és közismert példák kommutatív gyűrűre a következők: polinomgyűrűk, algebrai egészek gyűrűi a racionális számok testbővítéseiben – speciálisan ezek közé tartozik a racionális egész számok gyűrűje –, illetve a p-adikus egészek.[1]

Az algebrai számelméletben egy számtest (a racionális számok testének véges bővítése) algebrai egészeinek gyűrűje Dedekind-gyűrű. Ezek viselkedésének vizsgálata a kommutatív algebra fejlődésének egy fontos motiváló ereje. Emellett a kommutatív algebra számos fogalma megfeleltethető az algebrai geometriában megjelenő (gyakran általánosabb) fogalmaknak. Ez áll többek között a Krull-dimenzió, a primér felbontás, a reguláris gyűrű[2], a Cohen–Macaulay-gyűrű[3] illetve a Gorenstein-gyűrű[4] fogalmára.

A nem feltétlenül kommutatív gyűrűk vizsgálatával a nemkommutatív algebra foglalkozik. Ez magában foglalja a gyűrűelméletet, a reprezentációelméletet, és a Banach-algebrák elméletét.

Számelméleti vonatkozásokSzerkesztés

A kommutatív algebra által vizsgált objektumok először feltehetően a számelméletben jelentek meg.[5] Az alapvető felismerés abban állt, hogy ha  -t egy polinom gyökeivel bővítjük, a kapott bővítés hasonlóságokat mutat  -vel.

Ezeket a kutatásokat a nagy Fermat-sejtés is motiválta. A sejtés szerint az

 

egyenletnek nincs a racionális egész számok között  -tól különböző megoldása, ha  . Az állítás könnyen redukálható arra az esetre, ha   prímszám. Egy lehetséges útnak tűnt a bizonyítás felé az egyenlet bal oldalának faktorizálása: ha   helyett  -ben dolgozunk, ahol   primitív  -edik egységgyök, akkor a bal oldal szorzattá bontható:  . Így a bal és a jobb oldalon is egy   tényezős szorzat szerepel. Ha most alkalmazhatnánk a számelmélet alaptételét  -ben, akkor mindkét oldalt prímelemek szorzatára bonthatnánk, ami ellentmondáshoz vezethetne. A probléma viszont az, hogy a   gyűrű általában nem UFD, azaz nem igaz benne a számelmélet alaptétele.[6]

Ez a megközelítés vezetett az ideál fogalmának Dedekind általi bevezetéséhez. A név ideális, azaz nem valódi elemekre utal.[7] Az ideálok a gyűrűelemek általánosításainak tekinthetők annyiban, hogy minden gyűrűelem generál egy főideált; az alaptétel szempontjából ez nem vezet gondokhoz, hiszen a prímfelbontás amúgy is mindig csak egységek erejéig egyértelmű. Dedekind sikeresen meghatározta azokat a gyűrűket, amikben az ideálok egyértelműen felírhatók prímideálok szorzataként: ezek a Dedekind-gyűrűk.

Az ideálok bevezetése önmagában nem volt elegendő a Fermat-tétel bizonyításához. Ugyanakkor ezeken keresztül Kummer sikeresen igazolta a tételt reguláris prímekre, azaz olyan  -kre, amik nem osztják a   test osztályszámát.[8] (37, 59 és 67 kivételével minden 100 alatti prím reguláris.)

A gyűrűbővítések egy másik útját Kronecker alapozta meg: bevezette a polinomgyűrű fogalmát, és egy   test feletti   polinom gyökeivel való bővítést   alakban értelmezett. Kronecker továbbá definiálta a Dedekind-féle ideálok megfelelőit ebben a felállásban. Egyértelmű prímfelbontás ugyan nem létezik ebben az esetben, viszont egy gyengébb formája fennáll: ez a Lasker által bizonyított primér felbontás.[9]

A két fent vázolt elméletet Noether helyezte közös alapokra, úttörő munkát végezve a kommutatív algebra modern megalapozásában.[10]

Főbb eszközök és eredményekSzerkesztés

Konvenció: a továbbiakban gyűrű alatt kommutatív egységelemes gyűrűt értünk.

Noether-gyűrűkSzerkesztés

A Noether-gyűrűk mind a kommutatív, mind a nemkommutatív gyűrűelméletben alapvető fontosságúak. Egy Noether-gyűrű olyan gyűrű, amiben ideálok bármely nemüres halmazának van maximális eleme. Ezzel ekvivalens, hogy a gyűrű teljesíti a maximumfeltételt ideálokra. Ez alatt azt értjük, hogy ideálok bármely

 

lánca stabilizálódik, azaz létezik olyan n, hogy:

 

Egy kommutatív gyűrű továbbá akkor és csak akkor Noether, ha minden ideál végesen generált.[11]

LokalizációSzerkesztés

A lokalizáció az integritási tartományokra értelmezett hányadostest-fogalom általánosításának tekinthető. Heurisztikusan a lokalizálás során megengedjük a gyűrű bizonyos elemeivel való osztást, ez ugyanakkor a hányadostest-konstrukcióval szemben nem az összes nemzéró elem, hanem ezeknek csak egy részhalmaza lesz.

A formális definícióhoz először bevezetjük a multiplikatívan zárt részhalmaz fogalmát: ez az   gyűrű egy olyan   részhalmaza, ami tartalmazza a gyűrű egységelemét, és ha  , akkor  .

Tekintsük a következő relációt az   halmazon:   akkor és csak akkor, ha létezik olyan  , hogy  . Könnyen ellenőrizhető, hogy ez ekvivalenciareláció. Az   gyűrű  -nél vett   lokalizáltja ekkor az erre a relációra nézve vett ekvivalenciaosztályok halmaza; a továbbiakban az   elem osztályát   jelöli. A lokalizálton az összeadást és a szorzást a következőképpen definiáljuk:

 ,  .

A kapott gyűrűn a zéruselem így  , az egységelem   lesz.

Jegyezzük meg, hogy a „nevezők”   halmazában megengedjük a zéróosztókat. Ha   tartalmaz egy zéróosztót, akkor  . Ha   nullosztómentes, akkor akkor   beágyazható a lokalizáltba az

 

leképezéssel.

Ha   az   összes nemnullosztójából áll, akkor a lokalizáltat az   teljes hányadosgyűrűjének nevezzük.[12]

Fontos speciális eset, amikor   egy   prímideál komplementere. Ekkor a prímideál definíciója révén multiplikatív halmazt kapunk. Ilyenkor a lokalizált szokásos jelölése  .

A lokalizáció fogalma kiterjed a gyűrű fölötti modulusokra is: ha   egy  -modulus, akkor analóg módon definiálható az    -modulus.[13]

A lokalizáció néhány fontos tulajdonsága:

  • A lokalizáció rendelkezik a következő univerzális tulajdonsággal: bármely  -en értelmezett gyűrűhomomorfizmus, amely   elemeit egységekbe viszi, keresztülfaktorizál az   lokalizálton.[14]
  • A lokalizáció egzakt funktor.[15]
  • A lokalizáció tartja a faktorstruktúrát.[16]
  • A lokalizált ideáljai az eredeti gyűrű ideáljainak lokalizáltjai.[17]

Az elnevezés az algebrai geometriával kapcsolatos; itt a lokális gyűrűk algebrai varietások egy adott pontnál vett, azaz helyi (lokális) vizsgálatakor kerülnek elő.

Hilbert bázistételeSzerkesztés

Hilbert bázistétele szerint ha   Noether-gyűrű, akkor az   feletti egyváltozós polinomok   gyűrűje is Noether-gyűrű. A tételből indukció útján következik, hogy ha   Noether-gyűrű, akkor   is az.

A tétel azon speciális esetét, amikor az alapgyűrű test, David Hilbert bizonyította először.[18] Az elnevezésben a bázis szó az ideálok végesen generáltságára utal, ami ekvivalens a Noether-tulajdonsággal.

A bázistétel következménye, hogy Noether-gyűrű felett végesen generált algebra maga is Noether-gyűrű.[19]

A tétel szerepe az algebrai geometriában a következő. Legyen   egy test, legyen adott   feletti  -változós polinomok egy

 

halmaza, és tekintsük   azon   részhalmazát, amelyen valamennyi   eltűnik, azaz

 .

Ekkor  -nek van olyan véges   részhalmaza, hogy

 ,

azaz   előáll csupán véges sok polinom közös zérushelyeként is. Ez a klasszikus algebrai geometria szempontjából azt jelenti, hogy bármely   feletti algebrai varietást leírható véges sok polinom közös zérushelyeként.

Zariski-topológiaSzerkesztés

Legyen   egy gyűrű (a szakasz eleji konvenció továbbra is érvényben van). Ekkor az   spektruma alatt a prímideálok halmazát értjük, és ezt  -rel jelöljük. Ha   egy részhalmaz (nem feltétlenül ideál), akkor legyen

 .

Tekintsük ezeket a halmazokat az összes   részhalmazra, és definiáljuk a spektrumon a Zariski-topológiát mint azt a topológiát, amiben pontosan ezek a   halmazok a zárt részhalmazok.[20] Ekkor   egy kontravariáns funktor a gyűrűk kategóriájából a topologikus terek kategóriájába.[21] Az így definiált   topologikus teret az algebrai geometriában affin sémának nevezik.

A klasszikus algebrai geometriában a Zariski-topológia fogalma egy másik értelemben is használatos. Legyen   egy test, és legyen    -változós polinomok egy halmaza (nem feltétlenül ideál a polinomgyűrűben). Ekkor a   affin téren a Zariski-topológia zárt halmazai pontosan a

 ,  

halmazok, azaz azon pontok halmazai, amik valamely   részhalmazban elemeinek közös zérushelyeiként állnak elő.

A modern algebrai geometria számára az előbbi, a spektrumon alapuló megközelítés az alapvető; a gyűrűk spektrumaként előálló affin sémák a sémaelmélet alapkövei, az általános sémákat az affin sémák ún. összeragasztásával kapjuk. A fenti    -dimenziós affin tér megfelelője ekkor a   spektrum. A Hilbert-féle gyenge Nullstellensatz szerint a két fogalom egybeesik, ha   algebrailag zárt test (azaz nincsen nemtriviális algebrai bővítése) és  .

Az algebrai geometriai megközelítésben tehát a topológiai pontok szerepét a prímidálok veszik át, a fenti   és   operátorok közti kapcsolat alapján pedig gondolhatunk a gyűrű elemeire mint függvényekre.[22]

NullstellensatzSzerkesztés

Nullstellensatz név alatt több különböző, egymással összefüggő tételt lehet érteni, és a szakirodalomban a megnevezések nem teljesen egységesek. A következőkben az affin Nullstellensatz bizonyos variánsairól lesz szó; emellett az algebrai geometriában létezik még projektív illetve analitikus Nullstellensatz is. A Nullstellensatz szó németül zérushelytételt jelent.

Gyenge Nullstellensatz: Legyen   algebrailag zárt test. Ekkor a   gyűrű maximális ideáljai pontosan az   alakú ideálok, ahol  .[23]

Nullstellensatz vagy Zariski-lemma: Ha   egy test, akkor   bármely maximális ideáljának maradékteste véges bővítése  -nak.[24]

Egy másik, szintén Nullstellensatznak nevezett tétel tartalmazásfordító bijektív (Galois-)kapcsolatot ír le az affin tér algebrai részhalmazai és a polinomgyűrű radikálideáljai között. Ennek leírásához először vezessük be az   operátort: legyen   gyűrű,   egy részhalmaz. Ekkor

 

Intuitíve az   halmaz az  -en eltűnő függvények halmazának felel meg. Könnyen ellenőrizhető, hogy   egy ideál,   rendezésváltó, és  , ahol   az   lezártját jelöli a Zariski-topológiában.[25]

Szükségünk lesz még a radikál fogalmára. Legyen   egy ideál; ekkor   radikálja azon gyűrűelemekből áll, amelynek valamely hatványa  -ben van.

 

Nyilvánvaló, hogy  . Egy   ideált radikálideálnak nevezünk, ha  .

Nullstellensatz: a   és   operátorok tartalmazásfordító bijekciót adnak meg a spektrum zárt részhalmazai és a gyűrű radikálideáljai között. Speciálisan  ,  .[26]

Krull-dimenzióSzerkesztés

A dimenzióelmélet a kommutatív algebra azon részterülete, ami gyűrűk (és modulusok) dimenziófogalmaival foglalkozik. Több különböző dimenziófogalom is létezik, és ezek általában nem esnek egybe.

A Krull-dimenziót a következőképpen definiáljuk. Legyen   az   gyűrű egy prímideálja. Ekkor a   magassága a

 

láncok   hosszának szuprémuma, ahol   prímideálok. Az   gyűrű Krull-dimenziója a prímideáljainak magasságainak szuprémuma:

 ,

ahol Spec(R) az R spektruma, azaz a prímideálok halmaza. Mivel minden maximális ideál prím, ez megegyezik a maximális ideálok magasságainak szuprémumával. A definíció egyenes következménye, hogy egy prímideál magassága egyenlő a nála vett lokalizáció dimenziójával:

 .[27]

Hasonló módon definiálható egy topologikus tér Krull-dimenziója is, ekkor prímideálok helyett irreducibilis zárt halmazok láncaival dolgozunk.[28] Ez adja a kapcsolatot az algebrai geometria dimenziófogalma felé: egy gyűrű spektrumán a Zariski-topológiára nézve vett topologikus Krull-dimenzió megegyezik a gyűrű fent definiált algebrai Krull-dimenziójával.

A Noether-gyűrűk viszonylag jól viselkednek a Krull-dimenzióra nézve: ennek alapját Krull főideáltétele és ennek következménye, Krull magasságtétele jelentik.

Krull főideáltétele a következőt állítja: legyen   Noether-gyűrű,   a gyűrű egy eleme, és legyen   egy tartalmazásra nézve minimális prímideál. Ekkor  . Más szavakkal, egy főideál feletti minimális prímideál legfeljebb egy magasságú.

Krull magasságtétele a főideáltétel induktív következménye, és egyben annak általánosítása nem főideálokra. Legyen   Noether-gyűrű, legyenek  , és legyen   egy ezeket tartalmazó minimális prímideál. Ekkor a tétel szerint  .

Mivel Noether-gyűrűben minden ideál végesen generált, a magasságtételből következik, hogy minden prímideál magassága véges. Az ugyanakkor lehetséges, hogy ezek a magasságok nem korlátosak, és így a gyűrű Krull-dimenziója végtelen; erre először Nagata adott példát.[29]

Primér felbontásSzerkesztés

Noether-gyűrűkben minden ideál felírható bizonyos speciális ideálok – az ún. primér ideálok – metszeteként.

Legyen   egy ideál. Ekkor az   radikálja

 ,

azaz azon gyűrűelemek halmaza, amiknek valamely hatványa  -ben van. Könnyen ellenőrizhető, hogy  , és   ideál  -ben.

Egy   ideált primér ideálnak nevezünk, ha teljesül a következő:

ha   és  , akkor   vagy  .

Ez a prímideál definíciójának gyengítése, következésképpen minden prímideál primér. Ennek a részleges megfordítása is igaz: ha   primér, akkor   prímideál.[30] Noether-gyűrűben a metszetirreducibilis ideálok (azon ideálok, amik nem állnak elő két nagyobb ideál metszeteként), primér ideálok.[31] Ez azt sugallja, hogy a primér ideálok alkalmasak lehetnek arra, hogy a gyűrű ideáljainak metszetként való előállításának alkotóköveiként szolgáljanak.

Legyen   egy ideál, és tegyük fel, hogy   előáll véges sok primér ideál, mondjuk   metszeteként:

 .

Egy ilyen felírást irredundáns felbontásnak nevezünk, ha a metszetből semelyik   nem hagyható el, és  , ha  .

A Lasker–Noether-tétel szerint egy   Noether-gyűrű bármely   ideáljának van irredundáns felbontása primér ideálok metszeteként, továbbá   értéke illetve a   halmaz minden ilyen felbontásnál azonos.[32]

Az algebrai geometria szempontjából a tétel a következő módon írható le. Legyen   a   test feletti   változós polinomok gyűrűje. Ekkor   Noether-gyűrű Hilbert bázistétele értelmében. Legyen   egy ideál, és tekintsük az  -beli polinomok közös zérushelyeit  -ben:

 .

A   ilyen módon előálló részhalmazait affin algebrai halmazoknak nevezzük. Legyen   egy irredundáns primér felbontás; ekkor   felbomlik a   affin algebrai halmazok uniójára:

 .

A   halmazok irreducibilisek a Zariski-topológiában, azaz nem írhatók fel affin algebrai halmazok nemtriviális uniójaként.

Lásd mégSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Atiyah–Macdonald Chapter 1
  2. Stacks 02IS
  3. Stacks 02IO
  4. Stacks 0AWW
  5. Eisenbud §1.1, p.21
  6. Zábrádi §3.11
  7. Eisenbud §1.1, p.22
  8. Zábrádi §3.12.1
  9. Eisenbud §1.1, p.23
  10. Eisenbud p.23
  11. Goldhaber–Ehrlich §7.1
  12. Stacks 02C5 (3)
  13. Stacks 07JZ
  14. Stacks 00CP
  15. Stacks 00CS
  16. Stacks 02C8
  17. Stacks 02C9
  18. Hilbert
  19. Eisenbud Corollary 1.3
  20. Stacks 00E1
  21. Stacks 00E2
  22. Vakil §3.2
  23. Vakil 3.2.4
  24. Vakil 3.2.5
  25. Vakil §3.7
  26. Vakil 3.7.1
  27. Stacks 00KD
  28. Stacks 0054
  29. Eisenbud Exercise 9.6.
  30. Pelikán 10.1.3 Állítás
  31. Pelikán
  32. Pelikán 10.1.10 és 10.2.5 Tétel

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Commutative algebra című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Primary decomposition című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.