Polinomok számelmélete
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
A polinomok számelmélete, a matematika algebrai számelmélet nevű ága egyik fejezeteként, olyan számelméleti eredetű fogalmakat vizsgál és általánosít polinomokra, mint pl. az oszthatóság, az irreducibilitás és reducibilitás (felbonthatatlanság és felbonthatóság), a maradékos osztás, a legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös vagy a prímfaktorizáció.
Egyhatározatlanú polinomok és a köztük lévő műveletek
szerkesztésAz egyhatározatlanú avagy egyváltozós polinomok tekinthetők olyan véges sok nem nulla elemmel rendelkező sorozatoknak, melyek elemei egy R gyűrűből kerülnek ki. Ekkor a sorozat elemeit az annyiadik fokú tag együtthatóját jelenti:
Nemnulla egyhatározatlanú polinom foka a legnagyobb nem nulla indexe (az indexelést 0-ról indítjuk). Például, ha a ∈ R nem nulla, akkor (a,0,0,0,0,…) konstanspolinom foka 0. A (0,0,0,0,…) nullapolinom foka nincs értelmezve (nincs legnagyobb indexű nemnulla eleme). A fok jele, mint fent: deg(p).
Összeadás
szerkesztésAz ilyen, sorozatként interpretált polinomok esetén az összeadás világos: pontonként történik:
Például
Szorzás
szerkesztésA polinomszorzás a sorozatok konvolúciószorzata lesz: átlónként kell összeszorozni az elemeket, majd összeadni:
Hiszen világos, hogy a szorzatban azonos kitevőt adó monomokat (lehet) kell összeadni. Például
Polinomgyűrű
szerkesztésA polinomok együtthatói tetszőleges gyűrűből kerülhetnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test (algebra), akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test.
R[X] a fenti két művelettel gyűrűt alkot. Ha R egységelemes, akkor R[X] egységelemes gyűrű. Ha R integritási tartomány (kommutatív, nem nulla egységelemes, nullosztómentes gyűrű), akkor R[X] is az.
Maradékos osztás
szerkesztésGyűrű felett
szerkesztésHa R kommutatív gyűrű, nemnulla egységelemmel, értelmesen definiálható a maradékos osztás művelete az alábbi korlátozott módon.
Minden a,b ∈ R[X]-re, ha b főegyütthatója egység (azaz az egységelem osztója), egyértelműen létezik olyan q,r ∈ R[X], hogy
- 1. és
- 2. vagy
Például Z[X]-ben x³ + x = x x² + x (itt deg(x) < deg(x²)).
A Z[X]-beli korlátozott maradékos osztás nem összekeverendő az egész számok körében végezhető korlátlan maradékos osztással. Például világos, hogy
- 3x + 4 =3 (x+1)+1, ahol |1| < |3|
azonban – bár az 1, 3, 4 számok polinomok Z[X]-ben – világos, hogy deg(1) = deg(3), hiszen mindkettő konstanspolinom. A különbség abból fakad, hogy Z-ben az osztás normája az abszolút érték, Z[X]-ben viszont a polinom foka, mely minden nemnulla konstanspolinomra 0.
Test felett
szerkesztésHa T kommutatív test, akkor minden a, b ∈ T[X]-re, egyértelműen létezik olyan q, r ∈ T[X], hogy
- 1. és
- 2. vagy
Számelméleti tulajdonságok
szerkesztésAz alábbiakban a test feletti egyhatározatlanú avagy egyváltozós polinomok számelméleti tulajdonságait vizsgáljuk. A test feletti polinomok ugyanis integritási tartományt alkotnak, így értelmesek benne a számelméleti fogalmak.
Ha f és g polinomok, akkor azt mondjuk, hogy g osztója f-nek, ha létezik egy olyan h polinom, hogy:
Tehát ez azt jelenti, hogy f-et maradékosan elosztva g-vel a nullapolinomot kapjuk maradékul.
Az oszthatóság tulajdonságai
szerkesztés- és akkor
- akkor ha
- és akkor ahol és tetszőlegesek.
- akkor és ahol tetszőleges, második esetben nemnulla konstans.
- Ha és akkor
Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös
szerkesztés-re azt mondjuk, hogy és közös osztója, ha osztója -nek és -nek Egy polinomot az és polinomok legnagyobb közös osztójának nevezzük, ha és közös osztója, valamint osztható és bármely közös osztójával. Jelölés:
Hasonló módon -re azt mondjuk, hogy és közös többszöröse, ha -nek osztója -nek és is. Egy polinomot az és polinomok legkisebb közös többszörösének nevezzük, ha és közös többszöröse, valamint osztja és bármely közös többszörösét.
Tulajdonságok
szerkesztésTetszőleges és polinomoknak mindig van legnagyobb közös osztója, illetve amennyiben ezekből többet találunk, akkor azok csak egy konstans szorzóban térnek el egymástól.
Az egész számok körében a legnagyobb közös osztó gyors meghatározására kitalált Euklideszi algoritmus a polinomok körében is működik.
Irreducibilis polinomok
szerkesztésEgy n-edfokú polinomra akkor mondjuk, hogy irreducibilis, ha az nem bontható fel két, n-nél kisebb fokú polinom szorzatára. Nevezhetjük őket a polinomok között prímeknek.
Állítások irreducibilis polinomokra:
- Minden elsőfokú polinom irreducibilis.
- Ha irreducibilis, akkor tetszőleges konstans esetén is az.
- Ha és irreducibilis, akkor vagy .
- Minden polinomhoz megadhatók konstans szorzó erejéig egyértelműen olyan irreducibilis polinomok, hogy teljesül.
Fontos azonban, hogy mely számok teste felett értjük az irreducibilitást, ugyanis például
- az polinom a racionális számok teste felett irreducibilis, a valósaké felett pedig nem:
- az polinom a valós számok teste felett irreducibilis, a komplexeké felett pedig nem:
Faktorizálás
szerkesztésA faktorizálás során a polinomot irreducibilis polinomok szorzatára alakítjuk át.