Főmenü megnyitása

A polinomok számelmélete, a matematika algebrai számelmélet nevű ága egyik fejezeteként, olyan számelméleti eredetű fogalmakat vizsgál és általánosít polinomokra, mint pl. az oszthatóság, az irreducibilitás és reducibilitás (felbonthatatlanság és felbonthatóság), a maradékos osztás, a legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös vagy a prímfaktorizáció.

Egyhatározatlanú polinomok és a köztük lévő műveletekSzerkesztés

Az egyhatározatlanú avagy egyváltozós polinomok tekinthetők olyan véges sok nem nulla elemmel rendelkező sorozatoknak, melyek elemei egy R gyűrűből kerülnek ki. Ekkor a sorozat elemeit az annyiadik fokú tag együtthatóját jelenti:

 

Nemnulla egyhatározatlanú polinom foka a legnagyobb nem nulla indexe (az indexelést 0-ról indítjuk). Például, ha aR nem nulla, akkor (a,0,0,0,0,…) konstanspolinom foka 0. A (0,0,0,0,…) nullapolinom foka nincs értelmezve (nincs legnagyobb indexű nemnulla eleme). A fok jele, mint fent: deg(p).

ÖsszeadásSzerkesztés

Az ilyen, sorozatként interpretált polinomok esetén az összeadás világos: pontonként történik:

 

Például

 

SzorzásSzerkesztés

A polinomszorzás a sorozatok konvolúciószorzata lesz: átlónként kell összeszorozni az elemeket, majd összeadni:

 
 

Hiszen világos, hogy a szorzatban azonos kitevőt adó monomokat (lehet) kell összeadni. Például

 

PolinomgyűrűSzerkesztés

A polinomok együtthatói tetszőleges gyűrűből kerülhetnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test (algebra), akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test.

R[X] a fenti két művelettel gyűrűt alkot. Ha R egységelemes, akkor R[X] egységelemes gyűrű. Ha R integritási tartomány (kommutatív, nem nulla egységelemes, nullosztómentes gyűrű), akkor R[X] is az.

Maradékos osztásSzerkesztés

Gyűrű felettSzerkesztés

Ha R kommutatív gyűrű, nemnulla egységelemmel, értelmesen definiálható a maradékos osztás művelete az alábbi korlátozott módon.

Minden a,bR[X]-re, ha b főegyütthatója egység (azaz az egységelem osztója), egyértelműen létezik olyan q,rR[X], hogy

1.   és
2.   vagy  

Például Z[X]-ben x³ + x = x x² + x (itt deg(x) < deg(x²)).

A Z[X]-beli korlátozott maradékos osztás nem összekeverendő az egész számok körében végezhető korlátlan maradékos osztással. Például világos, hogy

3x + 4 =3 (x+1)+1, ahol |1| < |3|

azonban – bár az 1, 3, 4 számok polinomok Z[X]-ben – világos, hogy deg(1) = deg(3), hiszen mindkettő konstanspolinom. A különbség abból fakad, hogy Z-ben az osztás normája az abszolút érték, Z[X]-ben viszont a polinom foka, mely minden nemnulla konstanspolinomra 0.

Test felettSzerkesztés

Ha T kommutatív test, akkor minden a, bT[X]-re, egyértelműen létezik olyan q, rT[X], hogy

1.   és
2.   vagy  

Számelméleti tulajdonságokSzerkesztés

Az alábbiakban a test feletti egyhatározatlanú avagy egyváltozós polinomok számelméleti tulajdonságait vizsgáljuk. A test feletti polinomok ugyanis integritási tartományt alkotnak, így értelmesek benne a számelméleti fogalmak.

Ha f és g polinomok, akkor azt mondjuk, hogy g osztója f-nek, ha létezik egy olyan h polinom, hogy:

 

Tehát ez azt jelenti, hogy f-et maradékosan elosztva g-vel a nullapolinomot kapjuk maradékul.

Az oszthatóság tulajdonságaiSzerkesztés

  •   és   akkor  
  •   akkor   ha  
  •   és   akkor   ahol   és   tetszőlegesek.
  •   akkor   és   ahol   tetszőleges, második esetben nemnulla konstans.
  • Ha   és   akkor  

Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörösSzerkesztés

 -re azt mondjuk, hogy   és   közös osztója, ha   osztója  -nek és  -nek Egy   polinomot az   és   polinomok legnagyobb közös osztójának nevezzük, ha     és   közös osztója, valamint osztható   és   bármely közös osztójával. Jelölés:  

Hasonló módon  -re azt mondjuk, hogy   és   közös többszöröse, ha  -nek osztója  -nek és   is. Egy   polinomot az   és   polinomok legkisebb közös többszörösének nevezzük, ha     és   közös többszöröse, valamint osztja   és   bármely közös többszörösét.

TulajdonságokSzerkesztés

Tetszőleges   és   polinomoknak mindig van legnagyobb közös osztója, illetve amennyiben ezekből többet találunk, akkor azok csak egy konstans szorzóban térnek el egymástól.

Az egész számok körében a legnagyobb közös osztó gyors meghatározására kitalált Euklideszi algoritmus a polinomok körében is működik.

Irreducibilis polinomokSzerkesztés

Egy n-edfokú polinomra akkor mondjuk, hogy irreducibilis, ha az nem bontható fel két, n-nél kisebb fokú polinom szorzatára. Nevezhetjük őket a polinomok között prímeknek.

Állítások irreducibilis polinomokra:

  • Minden elsőfokú polinom irreducibilis.
  • Ha   irreducibilis, akkor tetszőleges   konstans esetén   is az.
  • Ha   és   irreducibilis, akkor   vagy  .
  • Minden   polinomhoz megadhatók konstans szorzó erejéig egyértelműen olyan   irreducibilis polinomok, hogy   teljesül.

Fontos azonban, hogy mely számok teste felett értjük az irreducibilitást, ugyanis például

 
  • az   polinom a valós számok teste felett irreducibilis, a komplexeké felett pedig nem:
 

FaktorizálásSzerkesztés

A faktorizálás során a polinomot irreducibilis polinomok szorzatára alakítjuk át.