Raabe–Duhamel-módszer

A matematikában a Raabe-kritérium vagy Raabe–Duhamel-szabály egy tétel bizonyos sorozatok konvergenciájának vagy divergenciájának megállapítására szigorúan pozitív reálértékekkel, abban az esetben, ha a közvetlen következtetés lehetetlen d'Alembert-szabállyal. Nevét Joseph Ludwig Raabe és Jean-Marie Duhamel matematikusokról kapta.

Megfogalmazás

1. verzió

Legyen egy végtelen sorozat

$S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

pozitív valós összegzőkkel $a_{n}$, amelyek monoton csökkenő sorozatot alkotnak.

Ezután az $S$ konvergál, ha a sorozat

$\left(\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)n\right)_{n\in \mathbb {N} }$

fentről $-\alpha <-1$ határolja. Ha ennek a sorozatnak minden tagja nagyobb, mint $-1$, akkor $S$ divergens.

2. verzió

Legyen adott egy végtelen sorozat

$S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

Akkor $S$ abszolút konvergens, ha valamilyen $\beta >1$ szám esetén majdnem mindig (azaz $n\geq n_{0}$ esetén) érvényes:

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {\beta }{n}}$.

Azonban eltér, ha a ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}$ szinte mindig meghiúsul.

Megjegyzések

Mint mindig, amikor a sorozatok konvergencia viselkedését vizsgáljuk, ennek a kritériumnak csak majdnem minden index esetében kell teljesülnie. Váltással a feltétel végrehajtja az $S$ becslését

$T=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$

a majoráns kritérium szerint, ahol $T$ a teleszkópösszeg, ahol $b_{n}=c_{n}-c_{n+1}$ a nulla sorozat felett $c_{n}={\frac {n-1}{\alpha -1}}a_{n}$.

A fentiekkel egy sorozat maradék egyenlőtlenséget kapunk:

$S-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}\leq {\frac {N}{\alpha -1}}a_{N+1}$.

Alkalmazhatósága

Ezeket a kritériumokat nehezebb alkalmazni, mint a gyökkritériumot vagy a hányadoskritériumot, de gyakran bizonytalan esetekben továbbra is konvergenciaállításokat adnak, pl. hatványsorokban a konvergenciarégió pereme viselkedésének meghatározására szolgál majd.

Irodalom

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer 1996 (6. Aufl.), ISBN 3-540-59111-7

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Kriterium von Raabe című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.