Főmenü megnyitása

DefinícióSzerkesztés

Csoportelméleti definícióSzerkesztés

Hasonlóan ahhoz, ahogy a komplex számokat a valós számkör i-vel való kiegészítésével kaptuk, ahol i kielégíti az i2 = −1 egyenlőséget, a kvaterniókat az i, j és k elemeknek a valós számkörhöz való hozzávételével nyerjük, ahol i, j és k teljesíti a következőket:

 

Ha a szorzást asszociatívnak tekintjük (és valóban az is), a következő egyenlőségek állnak fenn:

 

Minden kvaternió felírható a báziskvaterniók (1, i, j és k) lineáris kombinációjaként, azaz minden kvaternió egyértelműen kifejezhető a + bi + cj + dk alakban, ahol a, b, c és d valós számok.

Halmazelméleti definícióSzerkesztés

 = (a, b, c, d)  4 

Halmazelméleti szempontból a kvaterniók a komplex számok önmagukkal vett direktszorzataként értelmezhetők, a következő összeadási és szorzási szabályokkal:

  • (a, b, c, d)+(A, B, C, D) = (a+A, b+B, c+C, d+D)
  • Szorzásukat egyszerűbb kifejezni az alábbi jelölésekkel: (a, b, c, d) = (a, v), ahol a egy valós szám, v egy háromdimenziós vektor, valamint v*V a skaláris szorzatukat, v x V pedig a vektoriális szorzatukat jelöli. Ekkor (a, v) * (A, V) = (a*A-v*V, a*V + A*v + v x V)

A kvaterniók ferdetestet alkotnak.

Komplex mátrixokSzerkesztés

Ez a konstrukció a kvaterniókat részgyűrűnek tekinti a  -es mátrixok gyűrűjében. Az 1, i, j, k báziskvaterniókat ezek a mátrixok ábrázolják:

 

ahol is a komplex képzetes egységet   jelöli az egyértelműség kedvéért.

Ebben az ábrázolásban

 

ahol   az i-edik Pauli-mátrixot jelöli.

Eszerint a kvaterniók halmaza megfelel a

 

mátrixok halmazának.

Ezeknek a mátrixoknak mindig   a determinánsa, amiből már következik a nullosztómentesség, hiszen a mátrixok gyűrűjében a nullosztók determinánsa nulla, itt pedig az összes nem nulla mátrix determinánsa pozitív. A műveletek asszociativitása a mátrixműveletek asszociativitásából következik. Az   szorzására vonatkozó szabályok egyszerű számolással igazolhatók.

A kvaterniók másként is ábrázolhatók a komplex számok fölötti  -es mátrixok gyűrűjében, de az összes többi lehetőség konjugált a már leírt változathoz.

HányadosalgebraSzerkesztés

Az absztrakt algebra lehetőséget ad a kvaterniók hányadosalgebraként történő definiálására. Eszerint a kvaterniók előállnak a háromhatározatlanú polinomok nem kommutatív gyűrűjének a Hamilton-szorzásszabályok alkotta ideállal vett faktoraként.

Egy másik módszerhez elég két határozatlan. Ekkor a kvaterniók algebrája az   által generált kétdimenziós euklideszi sík Clifford-algebrájaként áll elő.

A Clifford-algebrák egységelemes asszociatív algebrák, amiket egy kvadratikus alakkal ellátott vektortér generál. A Cℓ(V,Q) Clifford-algebra a legszabadabb algebra azzal a kikötéssel, hogy:

 

A háromdimenziós forgatásokkal való összefüggésben fontos szerephez jut az, hogy a kvaterniók algebrája az   által generált euklideszi tér Clifford-algebrájának páros részének tekinthető.

AlapműveletekSzerkesztés

Valós és képzetes részSzerkesztés

Az

 

kvaternió valós része:

 

míg a többi koordináta a képzetes részhez tartozik:

 

A képzetes részt gyakran a valós háromdimenziós vektorok vektorterével azonosítják:

 .

Ha az   kvaterniókat a valós skalárból és a háromdimenziós vektorból álló párokkal azonosítjuk:

 , ahol   és  ,

akkor a szorzás felírható így:

 

A valós számok azonosíthatók azokkal a kvaterniókkal, amiknek képzetes része a nullvektor.

Azokat a kvaterniókat, amiknek a valós része nulla, tiszta, vagy tisztán képzetes kvaternióknak nevezik. Ezek éppen azok a kvaterniók, aminek négyzete valós, és nem pozitív. A tisztán képzetes kvaterniók halmaza:

 

Ez egy háromdimenziós vektortér, aminek egy bázisa  .

Két tiszta képzetes kvaternió szorzatában a valós rész a tisztán képzetes kvaterniók skaláris szorzatának mínusz egyszerese; a képzetes rész a tisztán képzetes kvaterniók vektoriális szorzataként előálló tisztán képzetes kvaternió:

 

Konjugálás és normaSzerkesztés

Egy kvaternió konjugáltjában a valós rész ugyanaz, a képzetes rész ellentett:

 

A konjugált másként is kifejezhető:

 

A konjugálás legfontosabb tulajdonságai:

  •  , a konjugált konjugáltja az eredeti kvaternió
  •   és
      minden valós λ számra, vagyis a konjugálás lineáris leképezés   fölött
  •  
  •  , az   vektorok normája mindig valós, és sohasem negatív

Ezt a mennyiséget az   kvaternió normájának is nevezik.

Erre a normára teljesül az

 

összefüggés, így ezzel a normával a kvaterniók Banach-algebrát alkotnak.

Ahogy a komplex számoknál, úgy a kvaternióknál is megadható a valós és a képzetes rész a konjugálás segítségével:

  •   a valós rész;
  •   a képzetes rész.

Ha egy kvaternió megegyezik a konjugáltjával, akkor valós. Ha a konjugálás ellentettjére változtatja, akkor tisztán képzetes.

A norma kifejezhető a konjugálással:

 

InvertálásSzerkesztés

Az   kvaternió inverze az az x−1 kvaternió, amivel

  és  

Mivel a szorzás nem kommutatív, azért kétféle osztás definiálható:

  és  

amik rendre a

  és az  

egyenleteket oldják meg.

A két egyenlet megoldása akkor és csak akkor egyezik meg, ha a valós, mert csak a valósok cserélhetők fel az összes kvaternióval. Az absztrakt algebra nyelvén úgy mondjuk, hogy a kvaterniók ferdetestének centruma a valós számok halmaza. Így a   kifejezésbe hallgatólagosan beleértjük, hogy a valós.

Ezen kívül teljesül

 

ugyanis

 

és

 

Ezzel egy   kvaternió inverze

 

mivelhogy

 

  valós, és  , ezért ez a kifejezés tört alakban is írható:

 

EgységkvaterniókSzerkesztés

Az egységkvaterniók az 1 normájú kvaterniók. Az 1 abszolútértékű komplex számokhoz hasonlóan

 

Tetszőleges   kvaternióra

 

az x kvaternióval megegyező irányú egységkvaternió.

Egységkvaternió inverze újra egységkvaternió. Két egységkvaternió szorzata megint egységkvaternió. A szorzás asszociativitása miatt az egységkvaterniók csoportot alkotnak a szorzásra.

Az

 :  

kvaterniók szintén egységkvaterniók. Részcsoportot alkotnak az egységkvaterniók csoportjában, az úgynevezett kvaterniócsoportot.

A Lie-csoport olyan csoport, ami a szorzáson és az invertáláson kívül még egy topológiával is el van látva, amire nézve az előbbi műveletek folytonosak. Az egységkvaterniók halmaza egy háromdimenziós gömbfelszín a négydimenziós térben, ami ezzel Lie-csoporttá válik. A hozzá tartozó Lie-algebra a tiszta kvaterniók tere. A mátrixos ábrázolásban az egységkvaterniók csoportját éppen az SU(2) speciális unitér csoport ábrázolja. Ez megmagyarázza a kapcsolatot a Pauli-mátrixokkal.

A tiszta egységkvaterniók éppen azok a kvaterniók, amiknek négyzete -1:

 

Geometriailag a tiszta egységkvaterniók egy kétdimenziós gömbfelszínt alkotnak a háromdimenziós térben. Minden kvaternió, aminek   a négyzete, definiálja a komplex számok egy beágyazását:

 

De ez csak egy beágyazás. A kvaterniók nem alkotnak algebrát a komplex számok fölött.

Trigonometrikus alakSzerkesztés

Ahogy a komplex számok,

 

úgy a kvaterniók is leírhatók trigonometrikus alakban.

Az   tiszta egységkvaterniók trigonometrikus alakja:

 

és ez egyértelmű, ha  

A kvaterniókra kiterjesztett exponenciális függvény segítségével:

 

más szóval: az exponenciális leképezés bijekció az   normájú tiszta kvaterniók halmaza és a -1 nélküli egységkvaterniók halmaza között.

Általánosabban, minden nem valós kvaternió egyértelműen felírható, mint

 

ahol  , mint előbb

vagy a negatív valós számokon kívüli kvaterniók

 ,

ahol   tiszta kvaternió, amire  .

Konstrukciók kvaterniókkalSzerkesztés

SzorzatokSzerkesztés

Két kvaternió képzetes részének vektoriális szorzata a két kvaternió kommutátorának kétszerese:

Ha   és  ,

akkor

 

Két kvaternió, mint négydimenziós vektor skalárszorzata éppen   vagy  :

 

A kvaternió koordinátái megadhatók, mint

 

Két kvaternió Minkowski-skalárszorzata az xy szorzat valós része:

 

VektoranalízisSzerkesztés

A következőkben azonosítjuk a tiszta kvaterniókat   vektoraival.

Ha így definiáljuk a nabla operátort:

 

és az

 

vektormezőre alkalmazzuk, akkor kapjuk, hogy:

 

Itt   a valós,   a képzetes rész.

A nabla operátort kéteszer az   függvényre alkalmazva:

 

azaz a   operátor úgy hat, mint a Laplace-operátor négyzetgyöke.

Forgatások a háromdimenziós térbenSzerkesztés

Az egységkvaterniók elegáns módot kínálnak a forgatások leírására a háromdimenziós térben: rögzített q kvaternióra a

 

leképezés forgatás  -ben.

Ha trigonometrikus alakba írjuk a q kvaterniót:

 

ahol  , és   tiszta egységkvaternió, akkor a forgatás szöge  , és tengelye  .

Minden q egységkvaternió ugyanazt a forgatást definiálja, mint -q; például 1 és -1 is az identitásnak felel meg. Tehát az ortogonális mátrixokkal ellenben ez a megfeleltetés nem egy-egyértelmű: minden R forgatáshoz két egységkvaternió van, amire  .

Forgatások egymásutánja, más néven szorzata az egységkvaterniók szorzásának felel meg:

 

A forgásirány megfordítása a konjugálás megfelelője:

 

ami az egységkvaterniók körében ugyanaz, mint az invertálás.

Mindezek miatt ez a leképezés homomorfizmus, de nem izomorfizmus.

Kapcsolat az ortogonális mátrixokkalSzerkesztés

A   egységkvaterniónak megfelelő ortogonális mátrix

 
 

A mátrixból a kvaterniók meghatározásához elég a forgatás tengelyét és szögét megadni, és a trigonometrikus képletbe behelyettesíteni.

Kapcsolat az Euler-szögekkelSzerkesztés

Az Euler-szögekre különféle konvenciók vannak. Itt azokat a forgatásokat tekintjük, amik megkaphatók úgy, hogy először a z tengely körül  , utána az új x tengely körül  , végül az új z tengely körül   szöggel forgatva kapunk. Az egyes forgatások rendre a

 

kvaternióknak felelnek meg.

Mivel az elforgatott tengelyt forgatjuk, a szorzás sorrendje fordított:

 
 
 
 
 

Hasonlók adódnak más konvenciók esetén is.

A forgáscsoport univerzális fedéseSzerkesztés

Az egységnyi kvaterniók:

 

csoportja izomorf a 2*2-es, unitér mátrixok - SU(2) - csoportjával, amiért az egységkvaterniókat azonosíthatjuk a SU(2) generátoraival:

 [1]

Másrészről találunk az egységnyi kvaterinók csoportjából egy 2:1 művelettartó leképezést (homomorfizmust) az SO(3) forgatáscsoportba, ugyanis q és -q ugyanahhoz a Q rotációs mátrixhoz tartozik. Általánosan a (x,y,z) vektor körül 2θ szöggel forgató (ahol cos θ = w és |sin θ| = ||(x,y,z)||) Q mátrix:

 

Ez egy kétrétegű fedés, aminek magja a   centrum. A fedés univerzális, hiszen   egyszeresen összefüggő. Spincsoportnak is nevezik, és  -mal is jelölik, és szorosan kapcsolódik a fizikai spinhez. Az    leképezés egy úgynevezett spinorábrázolás, azaz egy olyan ábrázolás, amiben a négyzetes mátrixok mérete páros. Három báziskvaternió, i, j és k az SU(2) három hermitikus generáló mátrixának, a Pauli-mátrixoknak felel meg:

  ,      ,      

Így függ össze a két alaptétel:

i = σx/i, j = σy/i és k = σz/i,

ahol i a komplex képzetes egység, így az elméleti fizikából ismert σxσy= iσz kapcsolat éppen az i   j=k relációnak felel meg. A σ-mátrixok hermitikus voltuk miatt mérhető mennyiségekként jöhetnek szóba a kvantummechanikában, ellentétben a i, j és a k báziskvaterniókkal, ami fontos a kvantummechanika matematikai modellezésében. Közelebbről  , aminek valós vektorkoordinátái αx, αy és αz. Az 1/2 szorzónak többek között az a hatása,hogy a spinorok a vektorokkal ellentétben nem kerülnek vissza alaphelyzetükbe 2π-vel  (=360 fokkal) elforgatva, hanem csak annak kétszerese után.

A négydimenziós tér ortogonális leképezéseiSzerkesztés

A háromdimenziós esethez hasonlóan   minden irányítástartó hasonlósági transzformációja felírható, mint:

 

az   egységkvaterniókkal.

Teljesül, hogy:

 

Ez a konstrukció fedést ad:

 

aminek magja  .

A kvaterniók algebrájaSzerkesztés

Izomorfia erejéig három véges dimenziós asszociatív algebra van a valós számok felett: saját maga, algebrai lezártja, és a felette vett kvaterniók.[2]

  centruma  , ezért definiálható rajta redukált norma és redukált nyom:

 és  

A valós számokról a komplex számokra áttérve a kvaterniók algebrája mátrixalgebrává válik:

 

A tenzorszorzat   faktorra vett komplex konjugáció involúciót szolgáltat a mátrixalgebrában, aminek invariánsai egy  -val izomorf algebrát alkotnak.

Az

  ahol az  

involúció megfelel a kvaterniók fenti mátrixmodelljének.

A kvaterniók algebrája egy negatív definit szimmetrikus kvadratikus alakkal ellátott   Clifford-algebrájának tekinthető.

AlkalmazásaiSzerkesztés

A kvaterniók legfontosabb haszna, hogy a tisztán képzetes (azaz a valós része, az 'a' komponens 0) számokkal leírható a háromdimenziós vektortér. A kvaterniókat a háromdimenziós mozgásokkal való szoros kapcsolata miatt felhasználják robotok vezérlésénél.

A kvaterniókat CAD programok is felhasználják[3] a térbeli elforgatások kezelésére és az elforgatás tengelyének és szögének tárolására, ugyanis egy kvaternióhoz csak 4 lebegőpontos adatot kell tárolni (a tengellyel együtt), szemben az elforgatási mátrix 3×3 elemével és az elforgatás tengelyéhez szükséges további 3 elemmel. A kvaternió könnyedén átalakítható elforgatási mátrix alakba, és a kvaterniókkal való számítások gyakran kevesebb műveletet igényelnek, mint a vektoros–mátrixos számítások.[4] Kvaterniókat alkalmaz pl. a MicroStation CAD program.[5]

Négynégyzetszám-tételSzerkesztés

Legyen

  és  

Az

 

egyenlőségből adódik a tisztán valós azonosság:

 
 
 

Ha az összes szám egész, akkor ez az egyenlőség azt állítja, hogy két, négy négyzetszám összegeként felírható szám szorzata szintén felírható négy négyzetszám összegeként.

A négynégyzetszám-tétel szerint minden természetes szám felírható négy négyzetszám összegeként. Az előző állítás szerint elég a tételt a prímszámokra belátni. Ez alapján ezt az utóbbit is nevezik négynégyzetszám-tételnek.

Rokon témákSzerkesztés

A kvaterniókhoz hasonló konstrukciókat hiperkomplex számoknak is nevezik. A Cayley-számok a kvaterniók nyolcdimenziós analogonjai. Az ő körükben a szorzás se nem kommutatív, se nem asszociatív. A Cayley-számok szorzása alternatív:

  és   minden a, b Cayley-számra.

ForrásokSzerkesztés

  1. Rossmann 2002 p. 95.
  2. Corollary 6.8 in Chapter iX von Hungerford: Algebra (Springer 1974)
  3. Marsh Duncan. 3.5 Quaternions, Applied geometry for computer graphics and CAD (angol nyelven). Springer, 56-65. o. (2005). ISBN 1-85233-801-6. Hozzáférés ideje: 2013. szeptember 26. 
  4. Quaternions and spatial rotation (angol nyelven) (wiki). Wikipedia, 2013. (Hozzáférés: 2013) A kvaterniók és a térbeli elforgatás, A teljesítmény összehasonlítása
  5. Intergraph Standard File Formats (Element Structure) / Quaternion (3D) (angol nyelven). Intergraph, 2001. (Hozzáférés: 2013) Intergraph és MicroStation szabványos adatformátumok