Wikipédia

Szerkesztő:Qorilla/lap

< Szerkesztő:Qorilla

A trigonometriát az elmúlt több mint négyezer év során minden jelentősebb civilizáció felhasználta, alakította. Megalkotása nem köthető egyetlen konkrét személyhez vagy néphez.

Kifejlődése szerkesztés

Hipparkhosz korától egészen a modern matematika koráig a trigonometria nem arányokat, hanem szakaszokat vizsgált. Ezek a szakaszok eleinte az egység sugarú kör húrjai voltak, később félhúrjai, azaz a mai szinusz. Ezeknek a húroknak és félhúroknak a hosszát megközelítőleg kiszámolták, az értékeket pedig táblázatokba foglalták.[1]

A korai trigonometria szerkesztés

Az ókori egyiptomiak és babiloniak már ismertek hasonló háromszögek oldalaira vonatkozó tételeket. Az hellenisztikus kor előtti civilizációk viszont nem ismerték a szög fogalmát, így csak a háromszögek oldalait tudták vizsgálni, amit találóbb lenne „trilaterometriának” (azaz három-oldal-mérésnek) hívni, mint trigonometriának (azaz három-szög-mérésnek).[2]

A babiloni csillagászok részletes feljegyzéseket készítettek a csillagok járásáról, a Hold és a bolygók mozgásáról, a nap- és holfogyatkozásokról. Mindehhez szükségük volt a szögtávolság fogalmára, ennek segítségével tudtak számításokat végezni az éggömbön.[3]

A „Plimpton 322” nevű i. e. 1900-ból származó ékírásos tábla egyik értelmezése szerint az ókori babiloniak szekánstáblákat is készítettek.[4] Azonban az még mindig vita tárgya, hogy a táblán pitagoraszi számhármasok, másodfokú egyenletek megoldásai vagy trigonometrikus adatok olvashatóak.

Az egyiptomiak az i. e. 2. évezredben kezdetleges trigonometrikus módszereiknek a piramisok építésekor vették nagy hasznát.[3] Az egyiptomi Jahmesz írnok műve, a Rhind-papirusz a következő trigonometriai problémát tartalmazza:[5]

„Ha a piramis magassága 250 könyök, az alapjának oldala 360 könyök, akkor mekkora a piramis szekede?”

Szekednek mai megfogalmazással a meredekség reciprokát nevezték.

Jahmesz megoldása szerint a keresett szeked az alapél felének és a piramis magasságának hányadosa. Mai szóhasználattal ez a hányados a piramis oldallapja és alaplapja által bezárt szög kotangense.[5]

A görög matematika szerkesztés

 
A   középponti szöghöz tartozó húr és körív.

Az ókori görög matematikusok a középponti szöghöz tartozó húr hosszát (crd α) vizsgálták. A körívhez tartozó húr az ív végpontjait összekötő szakaszt jelenti. A húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján és felezi a húrhoz tartozó középponti szöget. Az elfelezett húr az elfelezett szöghöz tartozó szinusz (félhúr), azaz

 

Emiatt sok trigonometrikus azonosságot és tételt a hellenisztikus matematikusok más formában, a crd (húrhossz) függvénnyel felírva ismertek.[6]

Eukleidész és Arkhimédész műveiben szigorú értelemben véve nem szerepel trigonometria, viszont szerepelnek olyan geometriai tételek, amelyek megfeleltethetőek bizonyos trigonometrikus összefüggéseknek.[2] Például Eukleidész Elemek című művének második kötetében a 12-es és 13-as számú állítás nem más, mint a koszinusztétel tompa- illetve hegyesszögek esetében megfogalmazva. A húrok hosszára vonatkozó tételei a szinusztételt alkalmazzák. Arkhimédész elvágott húrokra vonatkozó tétele pedig megfelel a szinuszfüggvény addíciós tételeinek.[2]

Húrtáblázatok híján Arisztarkhosz és kortársai sokszor a következő összefüggést alkalmazták (mai jelöléssel):

 , ha 0° < β < α < 90°.[7]


A legelső ismert trigonometrikus táblázat nikaiai Hipparkhosztól származik, akit emiatt a „trigonometria atyja”-ként is emlegetnek.[8] Hipparchus was the first to tabulate the corresponding values of arc and chord for a series of angles.[8][9]

 
Ptolemaiosz Klaudioszt ábrázoló középkori festmény

Azt nem tudni, mikor osztották fel a kört először 360 fokra, az viszont bizonyos, hogy széles körben Szamoszi Arisztarkhosz „A Nap és a Hold méretéről és távolságáról” című műve után terjedt el, ugyanis ő a szögeket még a negyedkör törtrészeként írta fel. .[7]

Úgy tűnik, hogy a 360 fokra felosztott kör használata jórészt Hipparkhosznak és húrtáblázatainak köszönhető. Ezt az ötletet ő valószínűleg Hüpsziklésztől vette, aki a napot – mint időegységet – valószínűleg a babiloni csillagászat tanulmányozása alapján 360 részre osztotta fel. [10] In ancient astronomy, the zodiac had been divided into twelve "signs" or thirty-six "decans". A seasonal cycle of roughly 360 days could have corresponded to the signs and decans of the zodiac by dividing each sign into thirty parts and each decan into ten parts.[1] It is due to the Babylonian sexagesimal number system that each degree is divided into sixty minutes and each minute is divided into sixty seconds.[1]


Alexandriai Menelaosz (i. sz. 100 körül) megírta háromkötetes művét, a Sphaerica-t. Az első kötetben, lefekteti a gömbi háromszögek tanulmányozásának alapjait, az euklideszi sík háromszögeihez hasonlóan.[6] Megalkot egy tételt, mely szerint két gömbi háromszög akkor egybevágó, ha a szögeik páronként megegyeznek. Ugyanakkor nem különböztette meg az egybevágó és a szimmetrikus gömbi háromszögeket[6] Egy másik tétele szerint a gömbi háromszögek szögeinek összege nagyobb, mint 180°.[6] A Sphaerica második kötetében a gömbi geometria csillagászati alkalmazásait mutatja be. A harmadik kötet pedig „Menelaosz tételét” tartalmazza.[6] He further gave his famous "rule of six quantities".[11]

Később Ptolemaiosz Klaudiosz (kb. i. sz. 90 - 168) Hipparkhosz „A kör húrjai” című művére építkezve megírta Almageszt, más néven Matematikai értekezés című művét. A tizenhárom kötetes Almageszt az ókor legjelentősebb és legnagyobb hatású trigonometriai témájú műve.[12]

Ptolemaiosz egyik központi tétele ma is Ptolemaiosz tételeként ismert. E szerint húrnégyszögek esetén a szemközti oldalak hosszának szorzatának összege egyenlő az átlók hosszának szorzatával. A Ptolemaiosz-tétel speciális esete Eukleidész Adatok című könyvében 93-as szám alatt szerepel. A Ptolemaiosz tételéből következnek az szinusz- és koszinuszfüggvényre vonatkozó addíciós tételek is. Ptolemaiosz ezen kívül megtalálta a félszög-képletet is (bár ő nem szinuszt és koszinuszt hanem a húrfüggvényt, a crd()-t használta):

 .

Ezekkel a módszerekkel Ptolemaiosz trigonometrikus táblázatokat készített, bár azt nem tudni, hogy ezekhez mennyit használt fel Hipparkhosz táblázataiból.[12]

Sem Hipparkhosz, sem Ptolemaiosz táblázatai nem maradtak fenn, más ókori írók leírásai alapján azonban nem kétséges, hogy egykor valóban léteztek.[13]

Az indiai matematika szerkesztés

 
Aryabhata szobra

A trigonometria következő nagy fejlődési szakasza Indiában ment végbe. Aryabhata, az indiai matematikus és csillagász (476–550) Aryabhata-Siddhanta című művében jelenik meg először a szinusz modern fogalma, azaz a fél középponti szög és a fél húr kapcsolata. Szintén definiálta a koszinusz, a verszinusz (1 − cos) és az inverz szinusz fogalmát. Az ő munkái tartalmazzák a legrégebbi fennmaradt szinusz- és verszinusztáblázatokat. 0°-tól 90°-ig 3,75°-os lépésekben négy tizedesjegynyi pontossággal adta meg a függvények értékeit.

A szinuszra a jya, a koszinuszra a kojya, a verszinuszra az ukramajya, az inverz szinuszra az otkram jya kifejezést használta. Ezekből a szavakból félrefordítás útján lett szinusz és koszinusz.

A későbbi indiai matematikusok folytatták Aryabhata trigonometriai munkáját. A 6. században Varáhamihira észrevette, hogy

 
 
 

A 7. században I. Bhaskara kidolgozott egy képletet, amellyel hegyesszögek szinuszát tudta kiszámolni táblázat használata nélkül. A következő közelítő képlet szintén az ő munkája, melynek relatív hibája kevesebb, mint 1,9%-os:

 

Még mindig a 7. században, Brahmagupta leírta a következő összefüggést:

 

valamint kidolgozta a Brahmagupta-féle interpolációs képletet, amivel a szinuszfüggvény értéke számíthatók ki. Későbbi jelentős indiai matematikai író volt a 12. századi II. Bhaskara.

Sangamagramai Madhava (1400 körül) a lefektette a trigonometrikus függvények analízisének alapjait. Megalkotta a hatványsor fogalmát és a ma Taylor-sornak nevezett fogalmat. Megadta végtelen sor alakban a szinusz, koszinusz, tangens és az arkusz tangens függvényt. Közelítő Taylor-polinomokat használva 12 helyiértékes pontosságú koszinusztáblát készített. Követői a keralai iskolában halála után a 16. századig bővítették tovább műveit.[14][15]

Az iszlám matematika szerkesztés

 
Al-Khwārizmī depicted on a Soviet stamp


The Indian works were later translated and expanded in the medieval Islamic world by Muslim mathematicians of mostly Persian descent. They enunciated a large number of theorems which freed the subject of trigonometry from dependence upon the complete quadrilateral, as was the case in Hellenistic mathematics due to the application of Menelaus' theorem. According to E. S. Kennedy, it was after this development in Islamic mathematics that "the first real trigonometry emerged, in the sense that only then did the object of study become the spherical or plane triangle, its sides and angles."[16]

In the early 9th century, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī produced accurate sine and cosine tables, and the first table of tangents. He was also a pioneer in spherical trigonometry. In 830, Habash al-Hasib al-Marwazi produced the first table of cotangents.[17][18] Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (Albatenius) (853-929) discovered the reciprocal functions of secant and cosecant, and produced the first table of cosecants for each degree from 1° to 90°.[18] He was also responsible for establishing a number of important trigometrical relationships, such as:

 
 

By the 10th century, in the work of Abū al-Wafā' al-Būzjānī, Muslim mathematicians were using all six trigonometric functions. Abu al-Wafa had sine tables in 0.25° increments, to 8 decimal places of accuracy, and accurate tables of tangent values. He also developed the following trigonometric formula:

 

Abū al-Wafā also established the angle addition identities, e.g. sin (a + b), and discovered the law of sines for spherical trigonometry:[17]

 

Also in the late 10th and early 11th centuries, the Egyptian astronomer Ibn Yunus performed many careful trigonometric calculations and demonstrated the following trigonometric identity:

 

Al-Jayyani (989–1079) of al-Andalus wrote The book of unknown arcs of a sphere, which is considered "the first treatise on spherical trigonometry" in its modern form,[19] although spherical trigonometry in its ancient Hellenistic form was dealt with by earlier mathematicians such as Menelaus of Alexandria, who developed Menelaus' theorem to deal with spherical problems.[20][6] However, E. S. Kennedy points out that while it was possible in pre-lslamic mathematics to compute the magnitudes of a spherical figure, in principle, by use of the table of chords and Menelaus' theorem, the application of the theorem to spherical problems was very difficult in practice.[21] Al-Jayyani's work on spherical trigonometry "contains formulae for right-handed triangles, the general law of sines, and the solution of a spherical triangle by means of the polar triangle." This treatise later had a "strong influence on European mathematics", and his "definition of ratios as numbers" and "method of solving a spherical triangle when all sides are unknown" are likely to have influenced Regiomontanus.[19]

The method of triangulation was first developed by Muslim mathematicians, who applied it to practical uses such as surveying[22] and Islamic geography, as described by Abū Rayhān al-Bīrūnī in the early 11th century.[23] In the late 11th century, Omar Khayyám (1048–1131) solved cubic equations using approximate numerical solutions found by interpolation in trigonometric tables. In the 13th century, Nasīr al-Dīn al-Tūsī was the first to treat trigonometry as a mathematical discipline independent from astronomy, and he developed spherical trigonometry into its present form.[18] He listed the six distinct cases of a right-angled triangle in spherical trigonometry, and in his On the Sector Figure, he stated the law of sines for plane and spherical triangles, discovered the law of tangents for spherical triangles, and provided proofs for both these laws.[24]

In the 14th century, Jamshīd al-Kāshī provided the first explicit statement of the law of cosines in a form suitable for triangulation. In France, the law of cosines is still referred to as the theorem of Al-Kashi. He also gave trigonometric tables of values of the sine function to four sexagesimal digits (equivalent to 8 decimal places) for each 1° of argument with differences to be added for each 1/60 of 1°. Ulugh Beg also gives accurate tables of sines and tangents correct to 8 decimal places around the same time.

In the 16th century, Taqi al-Din contributed to trigonometry in his Sidrat al-Muntaha, in which he was the first mathematician to extract the precise value of Sin 1°. He discusses the values given by his predecessors, explaining how Ptolemy used an approximate method to obtain his value of Sin 1° and how Abū al-Wafā, Ibn Yunus, al-Kashi, Qāḍī Zāda al-Rūmī, Ulugh Beg and Mirim Chelebi improved on the value. Taqi al-Din then solves the problem to obtain the precise value of Sin 1°:[25]

 

Chinese mathematics szerkesztés

 
Guo Shoujing (1231–1316)

In China, Aryabhata's table of sines were translated into the Chinese mathematical book of the Kaiyuan Zhanjing, compiled in 718 AD during the Tang Dynasty.[26] Although the Chinese excelled in other fields of mathematics such as solid geometry, binomial theorem, and complex algebraic formulas, early forms of trigonometry were not as widely appreciated as in the earlier Greek and then Indian and Islamic worlds.[27] Instead, the early Chinese used an empirical substitute known as chong cha, while practical use of plane trigonometry in using the sine, the tangent, and the secant were known.[26] However, this embryonic state of trigonometry in China slowly began to change and advance during the Song Dynasty (960–1279), where Chinese mathematicians began to express greater emphasis for the need of spherical trigonometry in calendrical science and astronomical calculations.[26] The polymath Chinese scientist, mathematician and official Shen Kuo (1031–1095) used trigonometric functions to solve mathematical problems of chords and arcs.[26] Victor J. Katz writes that in Shen's formula "technique of intersecting circles", he created an approximation of the arc of a circle s given the diameter d, sagita v, and length of the chord c subtending the arc, the length of which he approximated as s = c + 2v2/d.[28] Sal Restivo writes that Shen's work in the lengths of arcs of circles provided the basis for spherical trigonometry developed in the 13th century by the mathematician and astronomer Guo Shoujing (1231–1316).[29] As the historians L. Gauchet and Joseph Needham state, Guo Shoujing used spherical trigonometry in his calculations to improve the calendar system and Chinese astronomy.[30][26] Along with a later 17th century Chinese illustration of Guo's mathematical proofs, Needham states that:

Guo used a quadrangular spherical pyramid, the basal quadrilateral of which consisted of one equatorial and one ecliptic arc, together with two meridian arcs, one of which passed through the summer solstice point...By such methods he was able to obtain the du lü (degrees of equator corresponding to degrees of ecliptic), the ji cha (values of chords for given ecliptic arcs), and the cha lü (difference between chords of arcs differing by 1 degree).[31]

Despite the achievements of Shen and Guo's work in trigonometry, another substantial work in Chinese trigonometry would not be published again until 1607, with the dual publication of Euclid's Elements by Chinese official and astronomer Xu Guangqi (1562–1633) and the Italian Jesuit Matteo Ricci (1552–1610).[32]

Európai matematika szerkesztés

 
Godfrey Kneller 1702-es festménye Isaac Newtonról.

Valószínűleg Regiomontanus volt az első európai matematikus, aki a trigonometriát a matematika külön ágaként kezelte.[33] 1464-ben írta meg a De triangulis omnimodus című művét, majd a Tabulae directionum-ban megnevezetlenül ugyan, de már használta a tangensfüggvényt.

Georg Joachim Rheticus, Kopernikusz tanítványa az Opus palatinum de triangulis című művében valószínűleg elsőként definiálta a trigonometrikus függvényeket körök helyett közvetlenül háromszögek felhasználásával. Művében mind a hat trigonometrikus függvényhez készített táblázatokat, amiket Rheticus egyik tanítványa, Valentin Otho fejezett be 1596-ban.

A 17. században Isaac Newton és James Stirling megalkotta a trigonometrikus függvények általános Newton-Stirling interpolációs képletét.

A 18. században Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum című 1748-as műve volt a trigonometrikus függvények analitikus tárgyalásának legfontosabb megalapozója Európában. Végtelen sorokként definiálta őket és felírta az „Euler-képletet”: eix = cos(x) + i sin(x). Euler a tangens kivételével a mai rövidítéseket használta: sin., cos., tang., cot., sec., cosec.

Szintén a 18. században történt, hogy Brook Taylor megalkotta az általános Taylor-sor definícióját, amivel mind a hat trigonometrikus függvényt sorba fejtette és így közelítő képleteket adott rájuk. Tayloron kívül James Gregory 17. századi és Colin Maclaurin 18. századi munkássága is nagy szerepet játszott a trigonometrikus sorok megalkotásában.

A szinusz szó eredete szerkesztés

A latin sinus szó (jelentése „öböl”, „hajtás”) félrefordítás eredménye. Aryabhata az ardha-jiva (félhúr) kifejezést használta, amit később jiva-nak rövidítettek (kiejtése [ɟ͡ʝiʋɐ], kb. „gyiua”). Ezt hangzás alapján az arabok dzsiba-ként vették át (جب). Az 12. századi európai fordítók – például Cremonai Gerhard és Chesteri Robert – összetévesztették a dzsiba szót az arab dzsaib (azaz „öböl”) szóval, valószínűleg azért, mert a két szó arab írásképe azonos (جب).


See also szerkesztés

Citations and footnotes szerkesztés

  1. ↑ a b c Boyer. Greek Trigonometry and Mensuration, , 166-167. o. (1991) „It should be recalled that form the days of Hipparchus until modern times there were no such things as trigonometric ratios. The Greeks, and after them the Hindus and the Arabs, used trigonometric lines. These at first took the form, as we have seen, of chords in a circle, and it became incumbent upon Ptolemy to associate numerical values (or approximations) with the chords. [...] It is not unlikely that the 260-degree measure was carried over from astronomy, where the zodiac had been divided into twelve "signs" or 36 "decans." A cycle of the seasons of roughly 360 days could readily be made to correspond to the system of zodiacal signs and decans by subdividing each sign into thirty parts and each decan into ten parts. Our common system of angle measure may stem from this correspondence. Moreover since the Babylonian position system for fractions was so obviously superior to the Egyptians unit fractions and the Greek common fractions, it was natural for Ptolemy to subdivide his degrees into sixty partes minutae primae, each of these latter into sixty partes minutae secundae, and so on. It is from the Latin phrases that translators used in this connection that our words "minute" and "second" have been derived. It undoubtedly was the sexagesimal system that led Ptolemy to subdivide the diameter of his trigonometric circle into 120 parts; each of these he further subdivided into sixty minutes and each minute of length sixty seconds.” 
  2. ↑ a b c Boyer. Greek Trigonometry and Mensuration, , 158-159. o. (1991) „Trigonometry, like other branches of mathematics, was not the work of any one man, or nation. Theorems on ratios of the sides of similar triangles had been known to, and used by, the ancient Egyptians and Babylonians. In view of the pre-Hellenic lack of the concept of angle measure, such a study might better be called "trilaterometry," or the measure of three sided polygons (trilaterals), than "trigonometry," the measure of parts of a triangle. With the Greeks we first find a systematic study of relationships between angles (or arcs) in a circle and the lengths of chords subtending these. Properties of chords, as measures of central and inscribed angles in circles, were familiar to the Greeks of Hippocrates' day, and it is likely that Eudoxus had used ratios and angle measures in determining the size of the earth and the relative distances of the sun and the moon. In the works of Euclid there is no trigonometry in the strict sense of the word, but there are theorems equivalent to specific trigonometric laws or formulas. Propositions II.12 and 13 of the Elements, for example, are the laws of cosines for obtuse and acute angles respectively, stated in geometric rather than trigonometric language and proved by a method similar to that used by Euclid in connection with the Pythagorean theorem. Theorems on the lengths of chords are essentially applications of the modern law of sines. We have seen that Archimedes' theorem on the broken chord can readily be translated into trigonometric language analogous to formulas for sines of sums and differences of angles.” 
  3. ↑ a b Maor, Eli. Trigonometric Delights. Princeton University Press, 20. o. (1998). ISBN 0691095418 
  4. ↑ Joseph, pp. 383–4.
  5. ↑ a b Maor, Eli. Trigonometric Delights. Princeton University Press, 20. o. (1998). ISBN 0691095418 
  6. ↑ a b c d e f Boyer. Greek Trigonometry and Mensuration, , 163. o. (1991) „In Book I of this treatise Menelaus establishes a basis for spherical triangles analogous to that of Euclid I for plane triangles. Included is a theorem without Euclidean analogue - that two spherical triangles are congruent if corresponding angles are equal (Menelaus did not distinguish between congruent and symmetric spherical triangles); and the theorem A + B + C > 180° is established. The second book of the Sphaerica describes the application of spherical geometry to astronomical phenomena and is of little mathematical interest. Book III, the last, contains the well known "theorem of Menelaus" as part of what is essentially spherical trigonometry in the typical Greek form - a geometry or trigonometry of chords in a circle. In the circle in Fig. 10.4 we should write that chord AB is twice the sine of half the central angle AOB (multiplied by the radius of the circle). Menelaus and his Greek successors instead referred to AB simply as the chord corresponding to the arc AB. If BOB' is a diameter of the circle, then chord A' is twice the cosine of half the angle AOB (multiplied by the radius of the circle).” 
  7. ↑ a b Boyer. Greek Trigonometry and Mensuration, , 159. o. (1991) „Instead we have an Aristarchan treatise, perhaps composed earlier (ca. 260 B.C.), On the Sizes and Distances of the Sun and Moon, which assumes a geocentric universe. In this work Aristarchus made the observation that when the moon is just half-full, the angle between the lines of sight to the sun and the moon is less than a right angle by one thirtieth of a quadrant. (The systematic introduction of the 360° circle came a little later. In trigonometric language of today this would mean that the ratio of the distance of the moon to that of the sun (the ration ME to SE in Fig. 10.1) is sin 3°. Trigonometric tables not having being developed yet, Aristarchus fell back upon a well-known geometric theorem of the time which now would be expressed in the inequalities sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, where 0° < β < α < 90°.)” 
  8. ↑ a b Boyer. Greek Trigonometry and Mensuration, , 162. o. (1991) „For some two and a half centuries, from Hippocrates to Eratosthenes, Greek mathematicians had studied relationships between lines and circles and had applied these in a variety of astronomical problems, but no systematic trigonometry had resulted. Then, presumably during the second half of the second century B.C., the first trigonometric table apparently was compiled by the astronomer Hipparchus of Nicaea (ca. 180-ca. 125 B.C.), who thus earned the right to be known as "the father of trigonometry." Aristarchus had known that in a given circle the ratio of arc to chord decreases from 180° to 0°, tending toward a limit of 1. However, it appears that not until Hipparchus undertook the task had anyone tabulated corresponding values of arc and chord for a whole series of angles.” 
  9. ↑ Forráshivatkozás-hiba: Érvénytelen <ref> címke; nincs megadva szöveg a(z) oconnor1996 nevű lábjegyzeteknek
  10. ↑ Boyer. Greek Trigonometry and Mensuration, , 162. o. (1991) „It is not known just when the systematic use of the 360° circle came into mathematics, but it seems to be due largely to Hipparchus in connection with his table of chords. It is possible that he took over from Hypsicles, who earlier had divided the day into parts, a subdivision that may have been suggested by Babylonian astronomy.” 
  11. ↑ Needham, Volume 3, 108.
  12. ↑ a b Boyer. Greek Trigonometry and Mensuration, , 164-166. o. (1991) „The theorem of Menelaus played a fundamental role in spherical trigonometry and astronomy, but by far the most influential and significant trigonometric work of all antiquity was composed by Ptolemy of Alexandria about half a century after Menelaus. [...] Of the life of the author we are as little informed as we are of that of the author of the Elements. We do not know when or where Euclid and Ptolemy were born. We know that Ptolemy made observations at Alexandria from A.D. 127 to 151 and, therefore, assume that he was born at the end of the first century. Suidas, a writer who lived in the tenth century, reported that Ptolemy was alive under Marcus Aurelius (emperor from A.D. 161 to 180).
    Ptolemy's Almagest is presumed to be heavily indebted for its methods to the Chords in a Circle of Hipparchus, but the extent of the indebtedness cannot be reliably assessed. It is clear that in astronomy Ptolemy made use of the catalogue of star positions bequeathed by Hipparchus, but whether or not Ptolemy's trigonometric tables were derived in large part from his distinguioshed predecrssor cannot be determined. [...] Central to the calculation of Ptolemy's chords was a geometric proposition still known as "Ptolemy's theorem": [...] that is, the sum of the products of the opposite sides of a cyclic quadrilateral is equal to the product of the diagonals. [...] A special case of Ptolemy's theorem had appeared in Euclid's Data (Proposition 93): [...] Ptolemy's theorem, therefore, leads to the result sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin Β. Similar reasoning leads to the formula [...] These four sum-and-difference formulas consequently are often known today as Ptolemy's formulas.
    It was the formula for sine of the difference - or, more accurately, chord of the difference - that Ptolemy found especially useful in building up his tables. Another formula that served him effectively was the equivalent of our half-angle formula.”     
  13. ↑ Boyer, pp. 158–168.
  14. ↑ O'Connor and Robertson (2000).
  15. ↑ Pearce (2002).
  16. ↑ Kennedy, E. S.. The History of Trigonometry. National Council of Teachers of Mathematics, Washington DC (1969)  (cf. Haq, Syed Nomanul. The Indian and Persian background, 60-3. o. , in Seyyed Hossein Nasr, Oliver Leaman. History of Islamic Philosophy. Routledge, 52-70. o. (1996). ISBN 0415131596 )
  17. ↑ a b Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 157, in Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer (2000). ISBN 1402002602 
  18. ↑ a b c trigonometry. Encyclopædia Britannica. (Hozzáférés: 2008. július 21.)
  19. ↑ a b Sablon:MacTutor
  20. ↑ Sablon:MacTutor "Book 3 deals with spherical trigonometry and includes Menelaus's theorem."
  21. ↑ Kennedy, E. S. (1969). „The History of Trigonoemetry”. 31st Yearbook, 337. o, Kiadó: National Council of Teachers of Mathematics, Washington DC.   (cf. Haq, Syed Nomanul. The Indian and Persian background, 68. o. , in Seyyed Hossein Nasr, Oliver Leaman. History of Islamic Philosophy. Routledge, 52-70. o. (1996). ISBN 0415131596 )
  22. ↑ Donald Routledge Hill (1996), "Engineering", in Roshdi Rashed, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 3, p. 751-795 [769].
  23. ↑ Sablon:MacTutor
  24. ↑ Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press, 518. o. (2007). ISBN 9780691114859 
  25. ↑ Taqi al Din Ibn Ma’ruf's Work on Extracting the Cord 2° and Sin 1°. FSTC Limited, 2008. május 30. (Hozzáférés: 2008. július 4.)
  26. ↑ a b c d e Needham, Volume 3, 109.
  27. ↑ Needham, Volume 3, 108-109.
  28. ↑ Katz, 308.
  29. ↑ Restivo, 32.
  30. ↑ Gauchet, 151.
  31. ↑ Needham, Volume 3, 109-110.
  32. ↑ Needham, Volume 3, 110.
  33. ↑ Boyer, p. 274

References szerkesztés

A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Szerkesztő:Qorilla/lap&oldid=15133017”