Gömböc
A gömböc egy konvex, homogén háromdimenziós test, melynek specialitása, hogy összesen két – egy stabil és egy instabil – egyensúlyi helyzete van.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/G%C3%B6mb%C3%B6c.jpg/200px-G%C3%B6mb%C3%B6c.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Gomboc2.jpg/200px-Gomboc2.jpg)
A stabil helyzet az, amit a képek mutatnak; az instabil ugyanez fejjel lefelé fordítva. Itt elvben meg tudna állni, de bármely kis mozgás kibillenti ebből a helyzetből.[1] Ezt a különleges testet Várkonyi Péter és Domokos Gábor, a BME Építészmérnöki Kar Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszékének oktatói fedezték fel 2007-ben.
A felfedezés története
szerkesztésA gömböc megalkotása konstruktív módon bizonyította Vlagyimir Igorevics Arnold orosz matematikus 1995-ös sejtését, mely szerint létezik olyan homogén, konvex test, melynek négynél kevesebb egyensúlyi pontja van. Ezt a tulajdonságot nevezik úgy is, hogy a test mono-monostatikus. Ezt a problémát a homogenitás és konvexitás feltételei teszik nehézzé. Nem-homogén anyagból vagy nem konvex, ilyen tulajdonságú testet könnyen létre lehet hozni, erre példa a keljfeljancsi.[2] Számos matematikus úgy vélte, hogy ilyen testet egyáltalán nem is lehet létrehozni, sőt kétdimenziós sokszögekre ezt be is bizonyították. Arnold azonban kitartott amellett, hogy a feladat térben megoldható.[1][3]
Domokos Gábor és felesége kifejlesztett egy osztályozási rendszert, ami a testeket aszerint jellemzi, hogy milyen és mennyi egyensúlyi pontjuk van. Egy korai kutatásukban 2000 mosott kavicsot vizsgáltak meg Rodoszon, és nem találtak köztük olyan testet, ami egyensúlyi szempontból a gömböcre hasonlított volna.[1][3] Később Domokos egyik doktorandusza, Várkonyi Péter is bekapcsolódott a kutatásba, amelyet posztdoktori ösztöndíja idején is folytatott.[4]
Domokos és Várkonyi rájöttek, hogy milyen tulajdonságokkal nem rendelkezhetnek ezek a feltételezett testek: nem lehetnek se túl vékonyak, se túl laposak, mert ezek a tulajdonságok eleve kettő vagy több stabil egyensúlyi pontot vonnának maguk után. A gömböcnek tehát gömbszerű tulajdonságai vannak: vastagsága és keskenysége is minimális. Ezen feltételek (a gömböc alakjának) legkisebb sérülése esetén a gömböc megszűnik gömböc lenni: ezért valószínűtlen, hogy gömböc alakú követ találjunk.[3]
A gömböc tulajdonságainak behatárolása leegyszerűsítette a keresést, így a kutatóknak sikerült leírniuk egy olyan testet, ami kielégíti a keresett feltételeket, azaz csak két egyensúlyi ponttal rendelkezik.[3] Ez a forma azonban szabad szemmel megkülönböztethetetlen volt a gömbtől: a különbség egy 1 m átmérőjű gömböc esetén mindössze 0,01 mm lett volna. Ezt a testet nem lehetett iparilag előállítani sem.
A kutatók ezért folytatták a keresést, eldobva néhány más megszorításukat is (korábban ugyanis olyan gömböcöt akartak találni, ami nem rendelkezik éles sarokkal). A kutatást ezúttal is siker koronázta: a második gömböc már megvalósíthatónak bizonyult, és „Gömböc” néven ma is kapható.[3]
A kutatás a felfedezés után is folytatódik: azt remélik, hogy találnak majd egy olyan megoldást is, ami síklapokkal határolt, semmi köze a görbült felszínű gömböchöz. Hogy megtalálják a lehető legkevesebb lapot használó megoldást, kitűztek egy díjat is, aminek értéke 100 ezer dollár osztva a lapok számával.[5]
Elnevezése
szerkesztésA gömböc név főként a gömbölyű alakra, de ezen kívül a hasonlóan elnevezett disznóból készült, annak gyomrába töltött, szintén gömbölyded alakú ételre is utal (disznósajt), amely a Kis gömböc című népmesében is szerepel. (A mesebeli gömböc a padlásról le-, s az utcán végiggurulva mindenkit elnyelt, aki szembejött vele: egy családot, embereket az utcán, egy regiment katonát, míg végül egy kondásfiú fel nem szakította a késével.[6])
Fogadtatása
szerkesztésFelfedezése után a gömböc hamar a média figyelmének középpontjába került.[7] A The Mathematical Intelligencer 2006. évi 4. számának címlapjára is a gömböc képe került - ez volt a második magyar vonatkozású címlap a Rubik-kocka 1979-es bemutatása óta.[1] Több nem-matematikai lap is figyelmet szentelt neki, és 28 nyelven jelentek meg róla híradások.[8] 2009. február 13-án a BBC közvetítésében Stephen Fry demonstrálta a gömböc tulajdonságait, és Domokos Gábor mesélt a felfedezés történetéről.[9][10] A New York Times 2007 hetven legérdekesebb ötlete közé választotta.[11]
A gömböcöt kiállították a Millenáris parkban egy nagyobb kiállítás keretében, amely a magyar kutatás, fejlesztés és innováció eredményeit mutatta be 2008-ban.[12] Felfedezőit kitüntették a Magyar Köztársasági Érdemrend lovagkeresztjével.[13] A gömböc lett a 2010-es sanghaji világkiállítás magyar pavilonjának központi eleme.[14]
A természetben
szerkesztésA gömböc egyensúlyi tulajdonságai miatt több páncélos, héjas állatnak, például teknősnek hozzávetőlegesen gömböc alakú páncélja, héja alakult ki. Ez segíti őket abban, hogy vissza tudjanak fordulni, ha hátukra fordítják őket; nekik csak egy kicsit kell elmozdulniuk, a többit elvégzi a gravitáció. A lapos páncélú teknősöknek nincs ilyen gondjuk; ők meg tudnak fordulni a nyakuk és lábaik segítségével.
Domokos és Várkonyi egy évet töltött teknősök méregetésével a Budapesti Állatkertben, a Magyar Természettudományi Múzeumban és különböző állatkereskedésekben. Digitalizálták, elemezték testük és páncéljuk formáját, és összevetették geometriájukat a számításaikkal. Az első biológiai cikküket ötször dobták vissza, míg végül megjelenhetett a Proceedings of the Royal Societyben. Ezután több nagy tekintélyű tudományos lap népszerűsítette a felfedezést; még a legtekintélyesebbek is, mint a Nature[15] és a Science.[5][16] Az eredmény így összegezhető: a lapos páncél az ásáshoz és az úszáshoz megfelelőbb, míg a magas páncél megvéd a görgetéstől. A lapos páncélú teknősöknek hosszú a nyakuk és a lábaik, amiket aktívan használnak a visszaforduláshoz. A magas páncélúak mintegy maguktól fordulnak vissza; végtagjaik rövidek, és csak kevéssé használják őket egyensúlyuk visszaszerzéséhez. Mivel a körülmények nem tökéletesek, ezért mindig szükség van némi mozgásra. A magas páncél tehát nemcsak a hőgazdálkodást javítja, hanem a ragadozók karmai ellen is jobban véd.[5][15][17][18]
A gömböc alakú teknőspáncélról szóló elméletet több biológus is elfogadta. A biomechanika egyik úttörője, Robert McNeill Alexander felhasználta az evolúciós optimalizálásról szóló 2008-as előadásában.[19]
A gömböc-szerű formák talán azért olyan ritkák a természetben, mert a gömböc egy idealizált, homogén test. Bár az egyensúly visszanyerése fontos, még a modern robotikában is egyszerűbb az alsó részt nehezebb anyagból csinálni.[15]
A technikában
szerkesztésA gömböc formát, vagy egy részét a mérnökök és gyártók már alkalmazták és alkalmazzák gyakorlati tapasztalatok alapján az élet változatos területein.
- A tarajos sisak a lándzsás hadviseléssel terjedt el, ahol fontos volt az erős függőleges csapás elhárítása.
- A mentőcsónakokat a nagy hullámok megforgathatják, emiatt fontos hogy amint tudnak maguktól visszaforogjanak.
Gyártás
szerkesztésA gömböc formája rendkívül érzékeny, egy 10 cm átmérőjű gömböc mérettűrésének 0,01 mm-es tartományban kell lennie ahhoz, hogy a matematikailag igazolt forma a valóságban is működjön. Ezt a követelményt jelenleg legjobban a számítógéppel vezérelt marás (CNC technológia) segítségével lehet megvalósítani.
Az első gömböc 2006 nyarán készült számítógéppel vezérelt lézerek segítségével: ahol a két lézer találkozott, ott megszilárdult a folyékony alapanyag. A technológia pontossága kívánnivalót hagyott maga után, és az így készült gömböc gyakran elakadt egy köztes helyzetben. Azóta a pontosság javult, és már többféle anyagból, 10−4 mm pontossággal is lehet készíteni gömböcöt, de a folyamat még mindig órákig tart. A jelenleg használható anyagok: Alumínium ötvözet (AlMgSi), sárgaréz, márvány, plexiüveg. Az egyensúlyi tulajdonságokat mind a gömböc, mind a felszín tökéletlenségei befolyásolják. Ha egy gömböc megsérült, akkor olcsóbb újat gyártani, mint a sérült példányt kijavítani.[20] Bár elméletben akármilyen gömböc képes visszatérni a stabil egyensúlyi állapotba, a sérült gömböcök közül mindig a nagyobb vagy nehezebb darabok őrzik meg ezt a tulajdonságot a legjobban.[21]
A „Gömböc” bejegyzett márka és védjegy. Szokásos méretük 10 cm, és mindegyikük megkapja a Gömböc logót, az egyedi darabokra sorozatszám is kerül. A kis mérettűrés és a kevés megrendelés miatt nem lehet olcsón kapni.[21][22]
2008 októberében készült az első porcelán gömböc, speciális minőségű herendi porcelánból. Matematikai képleteket ábrázoló díszítését maga a porcelángyár művészeti igazgatója tervezte. Kinézete ellenére nem igazi gömböc, mert üreges. Neve ennek megfelelően: Herend pszeudo-Gömböc, és a Boston Consulting Group tulajdona.[23]
Számozott gömböcök
szerkesztés2007-ben egy egyedi Gömböc modellekből álló sorozat gyártása indult el. Ezeken a modelleken egy egyedi N sorszám van az 1 ≤ N ≤ Y intervallumból, ahol Y az aktuális évet jelöli. Minden szám csak egyszer készül, de nem növekvő sorrendben, hanem igény alapján. Eleinte ezek a modellek 3D nyomtatással készültek, és a sorszám a Gömböc belsejében helyezkedett el (eltérő, de azonos fajsúlyú anyagból nyomtatva). Most már minden egyedi darab CNC technológiával készül. A gyártás során egyedi célszerszámok készülnek, melyeket utólag megsemmisítenek. Az első számozott Gömböcöt (Gömböc 001) a feltalálók a Gömböc létezését megsejtő Vlagyimir Arnoldnak ajándékozták Moszkvában, 2007 augusztusában, az Arnold 70. születésnapja alkalmából rendezett konferencián. Arnold professzor ezt a Gömböcöt később az Orosz Tudományos Akadémia Szteklov Matematikai Kutatóintézetének adományozta, ahol az máig megtekinthető. Az eddig gyártott számozott darabok többsége ugyan magántulajdonban van, de számos példányt kiállítottak a világ legkiválóbb egyetemein, múzeumaiban.
Két olyan egyedi Gömböc-típus létezik, melynek nincs sorszáma. A 2010-es sanghaji világkiállítás magyar pavilonja számára, a magyar állam megrendelésére készült 11 darab Gömböc, melyekbe bemarták az Expo és a magyar pavilon logóját is. Ezeket később iskoláknak adományozták. A másik nem-számozott egyedi Gömböc a Stephen Smale díj, melyet 3 évente adományoz a Foundations of Computational Mathematics társaság.
A különleges alkalmakra készült egyedi Gömböcök számát, anyagát és méretét a megrendelő választhatja meg.[24] További információk találhatók az interaktív térképen, melyre a következő link vezet: [2] illetve az online kiadványban:[25]
Sorszám Intézmény Helyszín Sorszám magyarázata Kiállítás dátuma Technológia Anyag Magasság (mm) További részletek Egyéb megjegyzés 1 Steklov Intézet Moszkva, Oroszország Az első számozott Gömböc 2007.08. 3D nyomtatás Műanyag 85 Kép a kiállított Gömböcről Vlagyimir Arnold ajándéka 8 Magyar Pavilon Dinghai, Kína A 8-as szám a kínai numerológiában szerencsésnek számít. 2017.12. CNC-mart részekből összeállítva Áttetsző plexi 500 Kép a kiállított Gömböcről Archiválva 2020. június 12-i dátummal a Wayback Machine-ben A pavilon látképe Archiválva 2021. augusztus 31-i dátummal a Wayback Machine-ben A 8-as Gömböcöt először a sanghaji világkiállításon mutatták be. 13 windsori kastély Windsor, Egyesült Királyság 2017.02. CNC 99.99% ezüst 90 Kép a kiállított Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 108 A Shamarpa rezidenciája Kalimpong, India A Buddha tanításait tartalmazó Kangyur köteteinek száma 2008.02. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek az átadásról A Kamala Buddhista Közösség ajándéka. 400 New College, Oxford Oxford, Egyesült Királyság A Savilian Professzori szék (geometria) alapításának 400. évfordulója 2019.11. CNC Bronz 90 Képek a kiállított Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 1209 Cambridge-i Egyetem Cambridge, Egyesült Királyság Alapítás éve 2009.01. CNC AlMgSi ötvözet 90 Hír a Whipple múzeum honlapján A feltalálók ajándéka. 1343 Pisai Egyetem Pisa, Olaszország Alapítás éve 2019.04. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a kiállított Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 1348 windsori kastély Windsor, Egyesült Királyság A Térdszalagrend alapítása 2017.02. CNC Víztiszta plexi 180 Képek a Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 1386 Heidelbergi Egyetem Heidelberg, Németország Alapítás éve 2019.07. CNC Víztiszta plexi 180 Képek a Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 1409 Lipcsei Egyetem Lipcse [3], Németország Alapítás éve 2014.12. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 1546 Trinity College Cambridge, Egyesült Királyság Alapítás éve 2008.12. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről Domokos Gábor ajándéka. 1636 Harvard Egyetem Boston, Massachusetts, Amerikai Egyesült Államok Alapítás éve 2019.06. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről A Harvard matematikai modellgyűjteményének része. 1737 Göttingeni Egyetem Göttingen, Németország Alapítás éve 2012.12. CNC AlMgSi ötvözet 90 A Gömböc képe A matematikai gyűjtemény része. 1740 Pennsylvania Egyetem Philadelphia, Pennsylvania, Amerikai Egyesült Államok Alapítás éve 2020.12. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 1746 Princetoni Egyetem Princeton, New Jersey, Amerikai Egyesült Államok Alapítás éve 2016.07. CNC Víztiszta plexi 180 Képek a Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 1785 Georgia Egyetem Athens (Georgia), Amerikai Egyesült Államok Alapítás éve 2017.01. CNC AlMgSi ötvözet 90 Kép a Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 1802 Magyar Nemzeti Múzeum Budapest, Magyarország Alapítás éve 2012.03. CNC Víztiszta plexi 195 Képek a Gömböcről Thomas Cholnoky támogatásával készült. 1821 Brit Koronabirtok (Crown Estate) London, Egyesült Királyság Az az év, amikor Michael Faraday feltalálta a villanymotort 2012.05. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek az átadásról Környezetbiztonsági Díj (The Crown Estate Renewable Energy, Health & Safety Award) 1823 Bolyai Múzeum, Teleki–Bolyai Könyvtár Marosvásárhely, Románia Az az év amikor Bolyai János megírta a Temesvári levelet 2012.10. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 1825 Magyar Tudományos Akadémia Budapest, Magyarország Alapítás éve 2009.10. CNC AlMgSi ötvözet 180 Képek a Gömböcről Az MTA székház bejáratánál tekinthető meg 1827 Torontói Egyetem Toronto, Ontario, Kanada Alapítás éve 2019.06. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről A matematikai modellgyűjtemény része. Albrecht Ottó támogatásával készült. 1828 Drezdai Műszaki Egyetem Drezda, Szászország, Németország Alapítás éve 2020.06. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről A matematikai modellek digitális archívumának (DAMM) része. Albrecht Ottó támogatásával készült. 1837 Athéni Egyetem Athén, Görögország Alapítás éve 2019.12. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről Az athéni magyar nagykövetség ajándéka. 1855 Pennsylvania Állami Egyetem College Park, Pennsylvania, Amerikai Egyesült Államok Alapítás éve 2015.09. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 1865 Cornell Egyetem Ithaca, Amerikai Egyesült Államok Alapítás éve 2018.09. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről Domokos G. ajándéka 1868 Kaliforniai Egyetem Berkeley, Kalifornia Amerikai Egyesült Államok Alapítás éve 2018.11. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről A Lawrence Hall gyűjteményének része. Albrecht Ottó támogatásával készült 1877 Tokió Egyetem Tokió, Japán Alapítás éve 2018.08. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről A matematikai modellgyűjtemény része. Albrecht Ottó támogatásával készült. 1883 Aucklandi Egyetem Auckland, Új-Zéland Alapítás éve 2017.02. CNC Titán 90 Képek a Gömböcről 1893 Szoboljev Matematikai Kutatóintézet Novoszibirszk, Oroszország Novoszibirszk alapításának éve 2019.12. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 1896 Szellemi Tulajdon Nemzeti Hivatala Budapest, Magyarország Alapítás éve 2007.11. 3D nyomtatás Műanyag 85 Képek a Gömböcről 1910 KwaZulu-Natal Egyetem Durban, Dél-afrikai Köztársaság Alapítás éve 2015.10. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről A Gömböcöt Király András pretoriai nagykövet adta át ünnepélyes keretek között. Albrecht Ottó támogatásával készült. 1911 Reginai Egyetem Regina, Kanada Alapítás éve 2020.03. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült. 1917 Chulalongkorn Egyetem Bangkok, Thaiföld Alapítás éve 2018.03. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről A bangkoki magyar nagykövetség ajándéka 1924 Magyar Nemzeti Bank Budapest, Magyarország Alapítás éve 2008.08. CNC AlMgSi ötvözet 180 Képek a Gömböcről 1928 Poincaré Intézet Párizs, Franciaország Alapítás éve 2011.04. CNC AlMgSi ötvözet 90 Kép a Gömböcről A matematikai modellgyűjtemény része. 1930 Moszkvai Energetikai Intézet Moszkva, Oroszország Alapítás éve 2020.12. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről Az moszkvai magyar nagykövetség és a Moszkvai Magyar Kulturális Intézet ajándéka. A Gömböcöt Konkoly Norbert nagykövet adta át ünnepélyes keretek között Nyikolaj Rogaljev rektornak. 1978 Tromsøi Egyetem Tromsø, Norvégia A matematika szak alapításának éve 2020.08. CNC AlMgSi ötvözet 90 Kép a Gömböcről A matematikai modellgyűjtemény része. 1996 Buenos Aires-i Egyetem Buenos Aires, Argentína Az az éve, amikor a fizika tanszéket Juan José Giambiagi professzorról elnevezték. 2020.03. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről A Gömböcöt Gelényi Csaba Buenos Aires-i nagykövet adta át ünnepélyes keretek között. Albrecht Ottó támogatásával készült. 2013 Oxfordi Egyetem Oxford, Egyesült Királyság Az Andrew Wiles épület megnyitásának éve 2014.02. CNC Nemesacél 180 Képek a Gömböcről Tim Wong és Albrecht Ottó támogatásával készült. 2016 Aucklandi Egyetem Auckland, Új-Zéland A Science Center megnyitásának éve 2017.02. CNC Víztiszta plexi 180 Képek a Gömböcről 2018 Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Rio de Janeiro, Brazília A Rio de Janeiróban tartott Nemzetközi Matematikai Kongresszus éve 2018.08. CNC AlMgSi ötvözet 90 Képek a Gömböcről Albrecht Ottó támogatásával készült.
Gömböc-szobrok
szerkesztésVilágszerte több köztéri szobrot alkottak a formájára. 2,5 méteres változata az Expo 2010 magyar pavilonja előtt állt. Eddigi legnagyobb, négyméteres, négytonnás változatát a Budapest VIII. kerülete Corvin sétányán állították fel 2017 végén, Zalavári József művészeti vezetésével.[26]
Jegyzetek
szerkesztés- ↑ a b c d Várkonyi, P. L., Domokos G. (2006). „Mono-monostatic bodies: the answer to Arnold's question”. The Mathematical Intelligencer 28 (4), 34–38. o. [2007. augusztus 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2007. május 4.)
- ↑ Matematikai háttér. gomboc.eu
- ↑ a b c d e Marianne Freiberger. „The story of the Gömböc”, +plus magazine (angol nyelvű)
- ↑ Feltalálók. gomboc.eu
- ↑ a b c Julie Rehmeyer. „Can't Knock It Down”, Science News (angol nyelvű)
- ↑ A kis gömböc Archiválva 2009. július 20-i dátummal a Wayback Machine-ben, népmese
- ↑ „Boffins develop a 'new shape' called Gomboc”, Theage.com.au (angol nyelvű)
- ↑ Válogatott cikkek a gömböcről 28 nyelven. gomboc.eu. (Hozzáférés: 2009. december 12.)
- ↑ . gomboc.eu. (Hozzáférés: 2009. december 12.)
- ↑ Gömböc ("QI": Series F Episode 8). YouTube
- ↑ . gomboc.eu
- ↑ Az első interaktív gömböckiállítás. gomboc.eu. [2009. szeptember 15-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. június 26.)
- ↑ Állami kitüntetések augusztus 20-a alkalmából (Építészfórum, 2007. augusztus 21.)
- ↑ The Gömböc at the World Expo (angol nyelven). Gömböc.eu. [2015. szeptember 24-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. június 26.)
- ↑ a b c Philip Ball (2007. október 16.). „How tortoises turn right-side up” (angol nyelven). Nature News. DOI:10.1038/news.2007.170.
- ↑ Joseph Froncioni. „Gömböc – Finding Consilience”, Quickswood, 2008. február 14.. [2015. február 20-i dátummal az eredetiből archiválva] (Hozzáférés: 2009. december 8.) (angol nyelvű)
- ↑ Domokos, G.; Varkonyi, P.L. (2008). „Geometry and self-righting of turtles” (angol nyelven) (pdf). Proceedings of The Royal Society B 275, 11–17. o. DOI:10.1098/rspb.2007.1188.
- ↑ Adam Summers (2009. március). „The Living Gömböc. Some turtle shells evolved the ideal shape for staying upright” (angol nyelven). Natural History.
- ↑ Alexander professzor a teknősökről és a gömböcről. gomboc.eu, 2008. május 24. [2009. szeptember 15-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. december 8.)
- ↑ Használata. gomboc.eu. [2008. július 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2010. augusztus 17.)
- ↑ a b Gyakori kérdések. Függ-e a gömböc viselkedése anyagától vagy méretétől?. gomboc.eu. [2008. július 16-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. december 10.)
- ↑ Eredetiség és minőség. gomboc.eu. [2009. december 17-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. december 10.)
- ↑ Az első herendi porcelán gömböc. gomboc.eu. [2009. szeptember 15-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. december 11.)
- ↑ Egyedi Gömböc. gomboc.eu
- ↑ Individual Gömböc Pieces
- ↑ A világ legnagyobb Gömböc-szobra a Corvin sétányon. [2018. január 14-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2018. január 13.)