Nabla operátor

A nabla operátor a matematikában, azon belül pedig a vektoranalízisben alkalmazott differenciáloperátor. A ∇ (nabla) szimbólum jelöli, melynek HTML-kódja: ∇, Unicode-ban pedig az U+2207 kódhelyen található. A nabla operátor által egyszerűen leírhatóak olyan differenciáloperátorok, mint a gradiens, a divergencia és a rotáció. Egyben vektoroperátor is, melynek komponensei megfelelnek egy adott koordináta-rendszerben a parciális deriváltakat reprezentáló operátoroknak.

Nevét egy föníciai eredetű húros hangszerről kapta, legkorábbi használata az 1870-re tehető.

Definíció

Egy $n$-dimenziós Descartes-féle koordináta-rendszerben ($\mathbb {R} ^{n}$), melynek koordinátái $(x_{1},\dots ,x_{n})$ és bázisa $\{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}$, a nabla-operátor $\nabla$ a következő:

$\nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)$.

A definíció háromdimenziós térben, melynek koordinátái ($x,y,z$), egységvektorainak halmaza pedig $\{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\}$, a következőképp egyszerűsödik le:

$\nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)$

A nabla operátor kiterjeszthető más koordinátarendszerekre is, mint például gömbi- vagy hengerkoordinátákra, viszont ezek konkrét megadásához érdemes ismerni a mezőt is, melyen az operátor hat.

Azonosságok

A következő egyenletekben $f$ és $g$ skalármezők, míg $\mathbf {u}$ és $\mathbf {v}$ vektormezők. A műveletek közül $\cdot$ a skaláris szorzatot, $\times$ pedig a vektoriális szorzatot jelöli.

${\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} \\\nabla \cdot (f\mathbf {v} )&=f(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (f\mathbf {v} )&=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} \end{aligned}}$

Mátrixanalízisben a következő azonosság is gyakran használt, ahol a $\mathbf {u}$ és $\mathbf {v}$ skaláris szorzata $\mathbf {u} ^{\text{T}}\mathbf {v}$-ként is írható:

${\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}\mathbf {u} &=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {u} \right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}$

Nablával kifejezhető operátorok

A nabla vektoroperátor jellege lehetővé teszi, hogy skalármezőkre és vektormezőkre is tud hatni, így alkalmazhatósága sokszínű. Egy skalármezőre hatva megkapjuk a gradienst, vektormezőre skaláris szorzattal hatva a divergencia, míg vektoriális szorzattal hatva a rotáció definiálható. A nabla operátort többször alkalmazva olyan magasabb rendű parciális deriváltakat szerepeltető operátorokat fejezhetünk ki, mint a Laplace-operátor vagy a Hesse-mátrix.

Gradiens

Három dimenziós euklideszi térben adott $f(x,y,z)$ skalármező gradiense kényelmesen kifejezhető a nabla operátorral:

$\operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\partial f \over \partial y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}=\nabla f.$

Az $f$ mező gradiense adott pontban a legnagyobb meredekség irányába mutat és nagysága meghatározza a meredekség nagyságát. Például, ha egy dombot $x$ és $y$ koordináták szerinti $h(x,y)$ magasságfüggvénnyel írunk le, a magasságfüggvény gradiense adott pontban egy olyan vektor az $xy$ síkon, mely a legnagyobb meredekség irányába mutat, a vektor hossza pedig a meredekség konkrét nagyságát adja meg.

Adott $f$ és $g$ skalármezők szorzatának gradiense a szorzatszabály szerint kiszámolható:

$\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f.$

Mindazonáltal, $\mathbf {u}$ és $\mathbf {v}$ vektormezők skaláris szorzatának gradiensét bonyolultabb azonossággal lehet általánosan kifejezni:

$\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} ).$

Amennyiben $f(\rho ,\varphi ,z)$ hengerkoordinátákkal van kifejezve, gradiense a következő:

$\nabla f={\partial f \over \partial \rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+{1 \over \rho }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}.$

Továbbá, egy gömbi koordinátarendszerben definiált $f(r,\varphi ,\theta )$ gradiense a következőképp írható le:

$\nabla f={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}.$

Divergencia

Adott $v(x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}$ vektormező divergenciája egy skalármező, mely kifejezhető a nabla operátor vektormezővel vett skaláris szorzatával:

$\operatorname {div} \mathbf {v} ={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot \mathbf {v} .$

Egy vektormező divergenciája azt fejezi ki, hogy adott pontban a vektormező mennyire "terjed ki" vagy "összpontosul". Egy intuitív példa lehet egy fűrészporral beszórt vízfelszín vizsgálata. A kétdimenziós vektormező itt a víz sebessége. Ha egy adott pontba szórt fűrészpor kiterjed a vízfelszínen, akkor a vízsebesség által meghatározott vektormező divergenciája abban a pontban pozitív. Ellenkezőleg, ha egy adott pontban azt észleljük, hogy a fűrészpor elkezd inkább összegyűlni, akkor abban a pontban a vektormező divergenciája negatív. Ebből következik, hogy a divergencia rendkívül hasznos operátor az áramlástan területén, legyen szó akár folyadékokról, akár elektromos áramról.

Egy adott $f$ skalármező és $\mathbf {v}$ vektormező szorzata szintén egy vektormező, divergenciája pedig

$\nabla \cdot (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\cdot \mathbf {v} +f(\nabla \cdot \mathbf {v} ).$

Két vektormező vektoriális szorzatának divergenciája a következőképp fejezhető ki:

$\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\nabla \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} -\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} ).$

Amennyiben a $\mathbf {v} (\rho ,\varphi ,z)=v_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}$ vektormező hengerkoordinátákban van megadva, a divergenciája a következő:

$\nabla \cdot \mathbf {v} ={1 \over \rho }{\partial \left(\rho v_{\rho }\right) \over \partial \rho }+{1 \over \rho }{\partial v_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial v_{z} \over \partial z}.$

Továbbá ha $\mathbf {v} (r,\varphi ,\theta )=v_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ gömbi koordinátákon van definiálva, a divergenciája a következőképp fejezhető ki:

$\nabla \cdot \mathbf {v} ={1 \over r^{2}}{\partial \left(r^{2}v_{r}\right) \over \partial r}+{1 \over r\sin \theta }{\partial v_{\varphi } \over \partial \varphi }+{1 \over r\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(v_{\theta }\sin \theta \right).$

Rotáció

Adott $\mathbf {v}$ vektormező rotációja a következőképp fejezhető ki a nabla operátorral egy derékszögű koordináta-rendszerben:

$\operatorname {rot} \mathbf {v} =\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\hat {\mathbf {x} }}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\hat {\mathbf {y} }}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\hat {\mathbf {z} }}=\nabla \times \mathbf {v} .$

A $\times$ a vektoriális szorzatot jelenti, ami vizualizálható egy determináns formájában is:

$\nabla \times \mathbf {v} =\left|{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|.$

A rotáció, nevéből adódóan, azt írja le, hogy egy vektormező mennyire "forog" egy adott pont körül.

Adott $f$ skalármező és $\mathbf {v}$ vektormező szorzatának rotációja a következőképp adható meg:

$\nabla \times (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} ),$

két vektormező vektoriális szorzatának rotációja pedig

$\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} .$

Hengerkoordinátákban a $\mathbf {v} (\rho ,\varphi ,z)=v_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}$ vektormező rotációja a következő:

$\nabla \times \mathbf {v} =\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial v_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial z}}\right){\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left({\frac {\partial v_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial \rho }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \left(\rho v_{\varphi }\right)}{\partial \rho }}-{\frac {\partial v_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\hat {\mathbf {z} }}.$

Gömbi koordinátákban megadott $\mathbf {v} (r,\varphi ,\theta )=v_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ vektormező rotációja pedig:

$\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(v_{\varphi }\sin \theta \right)-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rv_{\varphi }\right)\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\left(rv_{\theta }\right)-{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.$

Laplace-operátor

A nabla operátor önmagával vett skaláris szorzatának eredménye a Laplace-operátor $\Delta$:

$\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}.$

Egy skalármezőre a Laplace-operátort alkalmazva ismét egy skalármezőt kapunk. Vektormezőkön is alkalmazható a Laplace-operátor, ott minden komponensére hat.

A Laplace-operátor $f$ skalármezőn kiértékelve hengerkoordinátákban

$\Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}},$

gömbi koordinátákban pedig

$\Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\!\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\!\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.$

Hesse-operátor

A Hesse-mátrix egy adott skalármező (vagy többváltozós függvény) második deriváltjait tartalmazza, így leírható a nabla operátor segítségével:

$\mathbf {H} ^{f}(x)=(\nabla \cdot \nabla ^{T})f(x).$

Ebben az egyenletben a $\cdot$ a közönséges mátrixszorzatot jelöli, például egy $n$ dimenziós euklidészi térben a $\nabla$ egy $(n\times 1)$-es mátrix, míg $\nabla ^{T}$ egy $(1\times n)$-es mátrix, így a szorzatuk egy $(n\times n)$-es mátrix, ami $f$ skalármezőn kiértékelve a mező (vagy függvény) Hesse-mátrixával egyenlő.

Nablával kifejezhető operátorok azonosságai

Amennyiben $f$ és $\mathbf {v}$ tetszőlegesen sokszor differenciálható, a következő azonosságok teljesülnek:

${\begin{aligned}\operatorname {rot} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {rot} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0\end{aligned}}$

$\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f$

$\operatorname {rot} (\operatorname {rot} \mathbf {v} )=\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {v} )-\Delta \mathbf {v} .$

Források

• Griffiths, David J.. Introduction to Electrodynamics. Pearson (2008). ISBN 0-13-805326-X 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Del című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Lásd még

• Maxwell-egyenletek
• Navier–Stokes-egyenletek