Komplex számok

(Képzetes szám szócikkből átirányítva)

A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás (a valós számok halmazával ellentétben, ahol negatív számnak nincs négyzetgyöke), valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak. A valós szám fogalmának ilyen általánosítását a 16. századi algebrai problémák (casus irreducibilis) vetették fel, később a komplex számok a matematika más területein és a fizikában is alkalmazhatónak bizonyultak.[megj 1]

A komplex számok megalkotásaSzerkesztés

A komplex számok halmazát   vagy   betűvel jelöljük. Imaginárius (képzetes) egységnek az egyik olyan komplex számot nevezzük, amelynek a négyzete −1. Ennek jele i. (A másik komplex szám, melynek négyzete −1, a −i.)

A komplex számok származtatásának három lehetséges módja alább olvasható.

     
Halmazelméleti modell Geometriai modell Algebrai modell
 ,

azaz olyan rendezett párok, melyeknek elemei valós számok, tehát az   Descartes-szorzat.

 , ahol az   alakú leképezések közös kezdőponttal rendelkező síkbeli forgatva nyújtások (r a nagyítás mértéke, φ a szöge)  , azaz a valós együtthatójú polinomok x2+1 polinommal történő osztásának maradékai. (Pontosabban az   polinomgyűrű (x2+1) szerinti maradékosztályai)
Szorzás: Szorzás: Szorzás:
  Itt   a függvénykompozíció (   ), konkrétan a síkbeli leképezések egymásutánja a polinomok szorzása
Összeadás: Összeadás: Összeadás:
  a képpontba mutató vektorok összege a polinomok összeadása
A szorzás egységeleme: A szorzás egységeleme: A szorzás egységeleme:
1 := (1,0) 1 := F = id (a nulla fokos forgatás) 1 := az azonosan 1 polinom
Az x2 = -1 egyenlet megoldása: Az x2 = -1 egyenlet megoldása: Az x2 = -1 egyenlet megoldása:
(0,1) (0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1 F+90° F+90° = F180° = – id = – 1 x x = x2 = (x2+1)-1 = 0-1 = -1

A három modellnek az a közös tulajdonsága, hogy mindegyik a valós számtest feletti 2 dimenziós vektortér, melyen egy szorzás is értelmezve van, ami az összeadással együtt testet alkot. Az ilyen algebrai struktúrát a valós számok testbővítésének nevezzük. Érvényes az a tétel, miszerint

a valós számok testének egyetlen olyan valódi testbővítése van, mely kommutatív és véges dimenziós.

Ezt az (izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározott) testbővítést a komplex számok halmazának nevezzük. A komplex számok fenti három értelmezése tehát kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon megfeleltethető egymásnak. Az előbbi tétel következményeként kijelenthetjük, hogy a komplex számok bizonyos értelemben a számkörbővítés utolsó állomásának tekinthető. Tovább csak úgy bővíthető a számkör, ha feladjuk a szorzás kommutativitását (kvaterniók) illetve ezen túl a szorzás asszociativitását (oktoniók).

Halmazelméleti modellSzerkesztés

A rendezett valós számpárok összessége alkotja a komplex számok halmazelméleti modelljét. Az összeadást ebben a modellben az

 

formulával definiáljuk;

a szorzást a kissé légbőlkapott

 

egyenlőséggel. Ellenőrizhető, hogy ez az (R×R, +,  ) matematikai struktúra valóban testet alkot a

0 := (0,0) additív neutrális elem és a
1 := (1,0) multiplikatív neutrális elem

választásával.

Érdemes még felírni az additív inverz elemet:

 

és a mutiplikatív inverz elemet minden nem nulla elem esetén:

 

A valós számtestet az

R   R×R, a   (a,0)

bijektív azonosítással kapjuk.

A kardinális kérdés, hogy melyik elem alkalmas -1 négyzetgyökének. A válasz (0,1) és (0,-1), mely közül i -vel jelöljük és imaginárius egységnek mondjuk a (0,1) elemet:

(0,1)2 = (0,1) (0,1) = (0 0 – 1 1,1 0 + 0 1) = (-1,0) = -1

Ez a modell a komplex számok összeadási tulajdonságát teszi szemléletessé, visszavezetve azt a vektorösszeadásra.

Geometriai modellSzerkesztés

A közös kezdőpontú, síkbeli forgatva nyújtások alkotják a komplex számok geometriai modelljét. Minthogy ezek egy (Descartes-féle derékszögű, ortonormált) koordináta-rendszer választásával azonosíthatók bizonyos lineáris leképezésekkel, érdemes rögtön a mátrixukra áttérni. A φ szöggel elforgató, r-szeresére nyújtó   leképezés mátrixa:

 

vagy az a := r cos(φ), b := r sin(φ) választással:

 .

Az ilyen alakú leképezések illetve mátrixok alkotják a geometriai modellt.

Itt a műveletek a következők lesznek. Az összeadás a mátrixösszeadás:

 

A szorzás a leképezések kompozíciója, ami mátrixokkal felírva a mátrixszorzás:

 

Az additív neutrális elem a 0 szorosára nyújtó leképezés, illetve a nullmátrix, a multiplikatív egységelem a 0°-os elforgatás. Egy nemnulla elem multiplikatív inverze az ugyanolyan szögű, de ellenkező irányba forgató leképezés, melynek nyújtási tényezője az eredeti reciproka.

A +90°-os forgatás olyan leképezés, melyet egymás után kétszer végrehajtva az identitás leképezés ellentettjét, a 180°-os forgatást kapjuk, tehát megoldható az x2 = -1 egyenlet.

Ez a modell a komplex számok szorzási tulajdonságait teszi szemléletessé.

Algebrai modellSzerkesztés

Algebrai modellnek az R[x] polinomgyűrű (x2+1) főideálja szerinti R[x] / (x2+1) faktorgyűrűjét értjük, mely ellenőrizhető, hogy testet alkot. Ez praktikusan azt jelenti, hogy a komplex számok ekkor a valós együtthatós polinomok x2+1 polinommal történő osztási maradékai, tehát legfeljebb elsőfokú polinomok, ahol a műveleteket (összeadás, szorzás) a maradékokkal kell végeznünk. Az algebrai modellben az x2+1 polinomot úgy tekinthetjük, mint ami azonos a 0 polinommal, hiszen ezt saját magával maradékosan elosztva nullát kapunk:

 

Ebből következik, hogy az elsőfokú x polinom (mint polinomosztási maradék) megoldása az

 

egyenletnek. Ezt nevezzük ebben az esetben az imaginárius egységnek, amit i-vel jelölünk, és amely jelölés alkalmazásával az x2+1-tel történő osztás minden maradéka előáll az

 

nevezetes algebrai alakban.

Ezek után az algebrai modellben minden azonosítás helyett az = jelet írhatjuk és figyelembe véve a polinomok és algebrai törtek műveleteit, minden testben végezhető műveletet ugyanúgy végezhetünk, mint a valós számok között, figyelve arra, hogy i azt az elemet jelöli, melyre

 

Számolás a komplex számok körébenSzerkesztés

Algebrai alakSzerkesztés

Bárhogy is definiáljuk a komplex számok   halmazát, benne megtaláljuk a multiplikatív egységelemet, az 1-et és az imaginárius egységet, az i-t. Ezek ketten bázist alkotnak a komplex számok kétdimenziós terében, ezért minden z  komplex szám egyértelműen előállítható z = a 1 + b i alakban, ahol a és b valós számok. Ennél fogva egyszerűbb áttérni a következő logikus jelölésre:

 

Mivel a és b a z által egyértelműen van meghatározva, ezért ezeknek nevet is adhatunk. a-t a z szám valós részének nevezzük és

 

-vel jelöljük, b-t a z szám imaginárius részének:

 

vegyük észre, hogy az elnevezésével ellentétben, a definíció alapján az imaginárius rész nem imaginárius, hanem valós szám. Tehát:

 

A komplex számok halmazán normát, vagy abszolút értéket is bevezethetünk, ha z = a + bi, akkor

 .

Geometriai ábrázolásSzerkesztés

 

A geometriai ábrázolásban minden komplex szám a kétdimenziós sík egy vektorának feleltethető meg. Ez az ábrázolás a Gauss-féle számsík, vagy (hogy Gauss neve ne legyen túlterhelve és ennek az ábrázolási formának az első bevezetőjéről legyen elnevezve) Argand-diagram (Jean-Robert Argand). Így egy komplex számnak van hossza, ez pont az előzőekben definiált abszolút érték (mely az R2-beli euklideszi norma), és irányszöge, vagy arkusza, mely a valós tengellyel bezárt irányított szöge.

Trigonometrikus alakSzerkesztés

A geometria és a halmazelméleti modell összevetéséből kiderül, hogy a z = a + bi komplex szám felírható

 

alakban, ahol r nemnegatív szám z modulusa, a φ radiánban megadott szögérték az árkusza. Ekkor persze

  és
 .

A fordított reláció a sugarat ugyan igen, de az árkuszt nem egyértelműen fejezi ki:

 

Illetve nem nulla a esetén:

 

Érdemes továbbá megemlíteni, hogy a komplex számokon értelmezett arg függvény az alábbi képlettel vezethető vissza az arctg2 függvényre:

 

Ennek az alaknak a komplex számok szorzásánál, hatványozásánál és a komplex számokból való gyökvonásnál vesszük hasznát. A z1 és z2 komplex számok triginometrius alakban felírt szorzata a geometriai modellhez hasonlóan:

 

A többtagú szorzás ugyanígy, speciális esetben a hatványozás:

 

amelyet r = 1 esetén felírva a Moivre-formulát kapjuk:

 

Exponenciális alakSzerkesztés

Mivel a komplex test normált, ezért léteznek és igazolható módon konvergensek a következő sorok:

 
 
 

Ha a csupa páratlan tagot tartalmazó szinusz i-szeresét hozzáadjuk a csupa páros tagból álló koszinuszhoz, akkor az exponenciális olyan alakját kapjuk, melyben a változó i-vel van szorozva:

 

Mindez a valós z = φ-re is igaz, mely esetet Euler-formulának nevezzük:

 

Van, amikor a φ = π -re vonatkozó esetet nevezik Euler-formulának:

 

Tehát minden komplex szám előáll

 

alakban.

Az exponenciális alak segítségével a komplex számok szorzása, osztása és hatványozása a szokásos szabályok szerint folyik:

 

Feltéve, hogy r2 nem nulla:

 
 

Érdemes a nemnulla komplex számokat teljesen exponenciális alakban írni:

 

Ekkor a nemnulla z komplex szám komplex w kitevőjű hatványozása, ha v = φ0+iφ1, akkor

 

Gyökvonás komplex számokbólSzerkesztés

A gyökvonásról általábanSzerkesztés

Mielőtt továbblépnénk, jegyezzük meg, hogy az Euler-képlet segítségével egy komplex szám végtelen sokféleképpen felírható, mert az arkuszához formálisan akárhányszor hozzáadhatunk  -t:

 ,

ahol k=0,1,2,…. Ez fontos, mert amikor  -ből n-edik gyököt vonunk, akkor egy olyan komplex számot keresünk, amelynek arkuszát n-nel szorozva visszakapjuk az eredeti arkuszt. De a fenti megjegyzés szerint nem csak   ilyen, hanem a következő arkuszok mind:

 ,

ahol k=0,1,2, … n-1. Tehát n különböző n-edik gyök létezik

 , ahol k=0,1,2, … n-1.

Valóban, ezek mind olyan komplex számok, melyekre igaz, hogy n-edik hatványuk éppen  . Triviális példa az 1-szám. Ennek négyzetgyökei, mint az elemekből ismeretes  , vagyis a következő két (komplex) szám   és  .

Példaképp most számoljuk ki a

 

komplex szám negyedik gyökeit. A mondottak szerint négy ilyen negyedik gyök van:

 ,
 ,
  és
 .

Valóban, például az utolsó gyököt a negyedik hatványra emelve:

 .


RendezésSzerkesztés

A komplex számok körében nem lehetséges definiálni olyan ≤ rendezési relációt, mely „kompatibilis” az összeadás és szorzás műveletekkel, így nem alkotnak rendezett testet (bár egyéb módon a komplex számok teste rendezhető (például a lexikografikus rendezéssel), sőt a jólrendezési tétel alapján jólrendezhető is, csak az ilyen rendezések egyike sem lesz kompatibilis a hagyományos +, · műveletekkel).

A komplex számtest algebrai és topologikus jellemzéseiSzerkesztés

TételFrobenius tétele – A valós számok teste feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrák (algebraizomorfizmus erejéig) a következők:

Ennek a tételnek a következménye, hogy a valós számok testbővítései közül egy definiáló tulajdonság segítségével kiválaszthatjuk a komplex számok testét. Mivel minden test nullosztómentes, ezért elegendő azt a megszorítást tenni, hogy véges dimenziós (1, 2, vagy 4), valódi bővítése R-nek (dim > 1) és kommutatív (tehát nem a kvaternió ferdetest), ekkor eljutunk a komplex számok testéhez.

Felvetődik a kérdés, hogy a valós számokra való hivatkozás nélkül is kijelölhető-e a testek közül a komplex számtest.

TételA komplex számok karakterizációja, mint test – Testizomorfizmus erejéig egyetlen olyan test van, mely:

Ez a komplex számok teste.

(A prímtest, a minimális résztest (igazolható, hogy ez egyértelműen létezik), a transzcendencia foka a transzcendencia-bázis számossága (jelen esetben kontinuum). Algebrailag zárt egy test, ha minden legalább elsőfokú polinomjának van gyöke a testben.)

Ezzel a karakterizációval elveszítjük a komplex számok topologikus tulajdonságait, melyek a valós számokkal való kapcsolatából erednek. A komplex számok testének, mint topologikus testnek a karakterizációját Pontrjagin határozta meg első ízben:

TételPontrjagin tétele – Összefüggő, lokálisan kompakt topologikus testből csak kétféle van az izomorfizmus erejéig, éspedig a valós számok teste és a komplex számok teste.

Ennek segítségével úgy jellemezhető a komplex számtest, mint olyan, a fenti tulajdonságokkal rendelkező test, melyben a nemnulla elemek összefüggő halmazt alkotnak (ellentétben a valósokkal).

p-adikus analógia és általánosításSzerkesztés

A racionális számokból a komplex számokat a következő módon kapjuk. Először teljessé tesszük a racionális számok   testét a szokásos (arkhimédeszi) abszolút értékre nézve: ez a valós számok   teste. Az így kapott test algebrai lezártja a komplex számok   teste.

Ezzel analóg módon definiálható a komplex számok p-adikus analogonja: ez a p-adikus számok testének olyan bővítése, ami egyszerre teljes és algebrailag zárt. Valóban, a p-adikus számok   teste a racionális számok teljessé tétele a (nemarkhimédeszi) p-adikus abszolút értékre nézve, ez tehát a valós számoknak felel meg az arkhimédeszi esetben. A p-adikus számok algebrai   lezártjára egyértelműen kiterjed a p-adikus abszolút érték, viszont   nem teljes erre nézve. Például megmutatható, hogy a

 

sor részletösszegei Cauchy-sorozatot alkotnak, de a sor nem konvergál a   testben.[1] A   teljessé tétele viszont szükségképpen teljes, és megmutatható, hogy itt a teljessé tétel során nem vész el az algebrai zártság sem. Az így kapott test tehát teljes és algebrailag zárt: ez a komplex p-adikus számok   teste.[2]

Megmutatható, hogy a komplex számok   teste izomorf a komplex p-adikus számok   testével, viszont nem létezik   és   közötti topologikus izomorfizmus (azaz olyan testizomorfizmus, ami tiszteletben tartaná az egyes abszolút értékek által definiált topológiát).[3]

A komplex p-adikus számok fontos szerepet játszanak az aritmetikai geometriában és az algebrai számelméletben. Segítségükkel definiálhatók p-adikus L-függvények (ezek az L-függvények p-adikus avatarjai).[4][5] A komplex p-adikus számok felett megalkotható a komplex függvénytan analogonja, a p-adikus analízis: ennek egyik alkalmazása a Weil-sejtések egyikének Dwork-féle bizonyítása.[6]

A fenti konstrukció általánosítható: Kürschák József megmutatta, hogy bármely értékelt testnek létezik olyan bővítése, ami teljes és algebrailag zárt. Sőt, a minimális ilyen bővítést pontosan a fenti három lépés adja meg, azaz a testet először teljessé tesszük, majd algebrailag lezárjuk (az abszolút érték egyértelműen kiterjed erre), majd még egyszer teljessé tesszük.[7]

AlkalmazásaiSzerkesztés

A komplex számokat a gyakorlati és természettudományok igen széleskörűen alkalmazzák. Elsősorban a komplex függvények jelennek meg a gyakorlatban, de ezek értéke is komplex szám, aminek aztán fizikai értelmet adhatunk.

A legtipikusabb alkalmazás a rezgések és hullámok vizsgálata. Mivel ezeket szinusz és koszinusz függvények segítségével írjuk le, kézenfekvő az Euler-féle képlet alkalmazása. Ilyen módon a fázisszög is egyszerűen kiolvashatóvá válik a mozgást leíró függvényből. A rezgéseket Fourier-transzformáció segítségével tudjuk harmonikus rezgések összegére felbontani, amit szintén egyszerűbb komplex függvények segítségével megalkotni.

A Fourier-transzformációhoz hasonló Laplace-transzformáció a mérnöki alkalmazások során merül fel. Ennek szerepe, hogy bizonyos problémákat, különösen a differenciálegyenleteket hatékonyan és gyorsan tudjuk megoldani.

Igen speciális szerepet kapnak a komplex számok a modern fizikában, ugyanis a részecskéket leíró Schrödinger-egyenlet is komplex számokat alkalmaz. A függvényérték maga is általában komplex szám, így fizikai értéket nem a függvény, hanem az abszolútértéke,   képvisel, jelesül egy részecske előfordulásának valószínűségét.

Programozási nyelvek, amelyekben található komplex aritmetikaSzerkesztés

  • C: #include <complex.h>;
  • C++: #include <complex>;
  • C#: using System.Numerics;
  • D: import std.complex;
  • Fortran: alapból kezeli
  • Go: import "math/cmplx"
  • Julia: alapból kezeli
  • Matlab: alapból kezeli
  • Octave: alapból kezeli
  • Perl: use Math::Complex;
  • Python: alapból ismeri, illetve további függvényekhez import cmath
  • Rust: use num_complex::Complex;
  • R: alapból kezeli

MegjegyzésekSzerkesztés

  1. ld. pl. Stephen Hawking: Az idő rövid története Archiválva 2009. január 20-i dátummal a Wayback Machine-ben. Könyvében Hawking amellett is érvel, hogy a fizika számára a téridő megértésének, vagy legalábbis leírásának kulcsfontosságú lépése, hogy az időt képzetes mennyiségnek tekintsük, azaz komplex számokkal mérjük.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Hamburg
  2. Koblitz Chapter III
  3. Koblitz III§4, Exercise 11
  4. Koblitz A 2. fejezet ennek a konstrukciónak a Riemann-féle zéta-függvényre vonatkozó változatát taglalja.
  5. Lang Chapter 4
  6. Koblitz Chapter V
  7. Roquette §2.1

ForrásokSzerkesztés

További információkSzerkesztés

  • Láng Csabáné: Példák és feladatok. Egyetemi jegyzet. 1. Komplex számok; ELTE, Bp., 2003
  • Szeitz Judit: Komplex számok. Főiskolai jegyzet; ZMNE BJKMFK, Bp., 2004
  • Komplex analízis, 1-2.; Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2004–2007
    • Teodor Bulboacă–Németh Sándor; 1.; 2004
    • Teodor Bulboacă–Salamon Júlia: 2. Feladatok és megoldások; 2007
  • Takács Miklós: Komplex számok. Példatár; 3. jav. kiad.; Főiskolai, Dunaújváros, 2009
  • Móricz Ferenc: Harmonikus analízis a komplex egységkörlapon; Polygon, Szeged, 2013 (Polygon jegyzettár)
  • Kecskés Lajos: A halmaz peremén. Cirkálás a komplex végtelenben; Typotex, Bp., 2021