Levi-Civita-szimbólum

A Levi-Civita-szimbólumot a fizikai vektor- és tenzorszámításban használják. Jele ; értéke nulla, ha van két egyező index, egy, ha az indexek adott sorrendje páros permutáció, és mínusz egy, ha páratlan. Vagyis azt mutatja, hogy páros vagy páratlan sok csere kell-e az indexek rendezéséhez. A matematikában inkább a permutációk előjeléről beszélnek. A szimbólumot Tullio Levi-Civita (1873−1941) olasz matematikusról nevezték el. Használatos megnevezése még, a teljesen antiszimmetrikus egységtenzor.

DefinícióSzerkesztés

Az n dimenziós Levi-Civita-szimbólumnak n indexe van, amelyeket általában 1-től n-ig, de néhány alkalmazásban 0-tól n-1-ig számoznak. Így definiálják:

  •  .
  • Két index felcserélése az ellentettjére változtatja:  .
  • A második tulajdonságból következik, hogy ha két index egyenlő, akkor értéke nulla:  .

Jelben

 

Egy alternatív definíció ugyanazt a szorzatképletet alkalmazza, amivel a permutációk előjelét definiálják:

 .

Jelölje   az 1 és n közötti egész számok halmazát! Ekkor a Levi-Civita-szimbólum értelmezhető egy   függvényként, ahol  , ha π nem bijektív, és  , ha π permutáció.

Kapcsolat a determinánssalSzerkesztés

Az    -es mátrix determinánsa a következőképpen írható a Levi-Civita-szimbólummal és az Einstein-féle összegkonvencióval:

 

Általánosabban is teljesül az összefüggés:

 .

A helyére az I identitásmátrixot téve   helyére a   Kronecker-delta kerül, így mivel  , kapjuk a Levi-Civita-szimbólum következő ábrázolását:

 .

ahol   a szokásos ortonormált bázis  -ben. Ez a mátrix annak a permutációmátrixnak a transzponáltja, ami a   vektort  -be viszi.

Innen a determinánsok szorzástételével

 .

A Laplace-féle kifejtési tétellel kapható a következő összefüggés, amely a két tenzor első k indexét kontraktálja:

 .

Három dimenzióbanSzerkesztés

A Levi-Civita-szimbólum ábrázolható a három ortogonális egységvektor vegyes szorzataként:

 
 

A két epszilon-tenzor szorzásában újra felhasználjuk a determinánsok szorzástételét, vagyis hogy a szorzat determinánsa megegyezik a tényezők determinánsának szorzatával. Emellett még azt is kihasználjuk, hogy a transzponálás művelete megőrzi a determinánst:

 

Így a két epszilon-tenzor szorzata felírható Kronecker-delták determinánsaként:

 

AlkalmazásaiSzerkesztés

VektorszámításSzerkesztés

A háromdimenziós esetre adódik:

 

ahol  .

  27 értéke közül csak 6 különbözik nullától:

 
 
 
A háromdimenziós Levi-Civita-szimbólum értékei jobbsodrású koordináta-rendszerben
 
A Levi-Civita-szimbólumok mátrixa és ...
 
A Levi-Civita-szimbólum balsodrású koordináta-rendszerben

Ebből látszik a Levi-Civita-szimbólum invarianciája a ciklikus permutációra. Ez az invariancia azonban csak páratlan dimenzióban áll fenn, mivel páros dimenzióban a ciklikus permutáció megváltoztatja az előjelet.

A következő számpélda determinánsként ábrázolja, ami három dimenzióban vegyes szorzatként is kifejezhető:

 

Három dimenzióban a vektoriális szorzat a Levi-Civita-szimbólum felhasználásával:

 

Ha   az ortonormált bázis i-edik egységvektora, akkor a fenti egyenlőség az

 

alakot nyeri.

A vegyes szorzatra

 .

ahol a Levi-Civita-szimbólum egy térfogatképlet részévé válik, hiszen a vegyes szorzat nagysága a három vektor által kifeszített paralepidon térfogatával egyenlő.

A Levi-Civita-szimbólum a Kronecker-deltához is kapcsolódik:

 .

Innen az Einstein-féle összegkonvencióval

 .

Ezek a kapcsolatok segítenek a vektoriális szorzat azonosságainak levezetésében.

Az epszilon-tenzor egy   vektorhoz azt a ferdén szimmetrikus A mátrixot rendeli, amire  . A vektoriális szorzat tehát kifejezhető mátrixszorzatként:

 

Ez a Hodge-operátor. Fizikai példa a mágneses erővektorhoz rendelt komponensek az elektromágneses mezőtenzorban. Ugyanilyen hozzárendelést kapcsolnak a pszeudovektorokhoz is.

RelativitáselméletSzerkesztés

A relativitáselméletben különbséget kell tennünk az epszilon-tenzor ko- és kontravariáns komponensei között. Legyen a következőkben a metrikus tenzor szignatúrája   a négydimenziós Minkowski-térben! Itt az indexeket nullától háromig vesszük fel. A négyszeresen kontravariáns komponens  .[1] A különböző szerzők különféle előjel-konvenciókat alkalmaznak a metrikában és az epszilon-tenzorra. Az indexek szokás szerint együtt mozognak a metrikus tenzorral. Így például a négyszeresen kontravariáns komponensre

 .

Az epszilon-tenzor invariáns a   Lorentz-transzformációra:

 

Ez abból következik, hogy   determinánsa 1. Az epszilon-tenzor felhasználásával a duális elektromágneses térerőtenzor is definiálható:

 

Ezzel a homogén Maxwell-egyenletek is tömörebben írhatók:

 

Ha a négydimenziós Minkowski-teret a  -es hermitikus mátrixok vektorterére képezzük le, akkor újra felbukkan az epszilon-tenzor:

 . Itt   a Pauli-mátrixok   és   az egységmátrix negatívja. Ennek megfelelő a tenzorok hozzárendelése. A metrikus tenzor két epszilon-tenzor szorzatára képeződik le:
 .

Ebben a formalizmusban (Van-der-Waerden-notáció) az egy indexes mennyiségek   spinorok, és az epszilon-tenzor ugyanazt a szerepet kapja a ko- és kontravariáns komponensek átszámításában, mint az   metrikus tenzor a közönséges Minkowski-térben:

 .

A metrika szignatúrájának rendszerint a (-1,1,1,1) vektort választják. Az epszilon-tenzorra az itt szokásos választás:  .[2]

KvantummechanikaSzerkesztés

A kvantummechanikában a Levi-Civita-szimbólumot a forgatóimpulzus-algebra megformálására használják. Matematikai fogalmakkal a szimbólum megegyezik az   Lie-algebrák struktúrakonstansaival. A következő példa illusztrálja a Levi-Civita-szimbólum használatát ebben az összefüggésben. Az   Lie-algebra az  -as ferdén szimmetrikus mátrixok részalgebrájának tekinthető, vagyis ábrázolható  -as valós mátrixokkal. Az   Lie-algebrát generálják a  ,   mátrixok, amikben az értékek  . Ekkor   a generátorok kommutátorai.

JegyzetekSzerkesztés

  1. John David Jackson: Classical Electrodynamics. (angolul) 3. (hely nélkül): John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-30932-X  
  2. Julius Wess – Jonathan Bagger: Supersymmetry and Supergravity. (angolul) (hely nélkül): Princeton University Press. 1983.