Riemann-integrálás

Az integrálszámítás tágabb értelemben a matematika analízis nevű ágának a része, újabb és szűkebb értelemben azonban csak a primitív függvények meghatározásának módszertanát és technikáit értjük alatta. Eredeti tárgykörét a 20. században jelentős eredményekkel gazdagított mérték- és integrálelmélet fogadta magába.

A matematikában az integrál fogalma alatt általában a valós függvénytan kalkulusán belül oktatott, Riemann-féle integrál fogalmát értjük, és az integrálszámítás szűkebb értelemben vett célja valós függvények primitív függvényeinek meghatározása, és ezek alkalmazása különféle (például geometriai és statikai) problémák megoldásában.

Alapintegrálok

szerkesztés

Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.

           
           
           
           
           
           
           
           
           

Általános integrálási szabályok

szerkesztés

Tagonkénti integrálás

szerkesztés

A tagonkénti integrálás az integrálandó lineáris kifejezések széttagolhatóságát jelenti, a következő műveleti tulajdonságok folytán:

Additivitás

Összegfüggvény (különbségfüggvény) primitív függvénye a tagok primitív függvényeinek összege (különbsége).

 

Homogenitás

Függvény konstansszorosának primitív függvénye a függvény primitív függvényének konstansszorosa.

 

Tagonként integrálható függvények például a polinomfüggvények.

Parciális integrálás

szerkesztés

A vizsgált intervallumon folytonosan differenciálható f és g függvények esetén

 

Parciálisan integrálhatók például a sinn x, cosn x, exsinn x és excosn x függvények, továbbá P(x) valós polinomfüggvény esetén parciálisan integrálható:

  •    választással;
  •    választással;
  •    választással;
  •    választással;
  •    választással;
  •    választással.

Helyettesítéses integrálás

szerkesztés

A vizsgált intervallumon folytonos f és folytonosan differenciálható g függvény esetén, ha F = ∫ f(x) dx, akkor

 

Megjegyzés. A helyettesítést az f( g(x) ) g'(x) alakú integrandus esetén konkrétan is elvégezhetjük, ha bevezetjük a t = g(x) új integrálási változót. Ennek differenciálja pont dt = g'(x) dx, így ekkor az integrál ∫ f(t) dt alakot ölt:

 

Nevezetes alesetek:

   
 (a lineáris belső függvény esete)
     


   
Az utolsó példa konkrét alkalmazásaiként kapjuk, hogy
     
    illetve
     

Speciális integrálási módszerek

szerkesztés

Racionális törtfüggvények integrálása

szerkesztés

Egy valós változóból és valós számokból a négy alapművelettel képzett, végső soron két polinom hányadosaként előálló   racionális törtfüggvény integrálása a következő lépésekben történhet:

  1. A valós együtthatós racionális   törtfüggvényt maradékos osztással az
     
    alakra hozzuk, ahol a   polinom fokszáma már kisebb, mint a   polinom fokszáma.
  2. A   nevezőt első- és (negatív diszkriminánsú) másodfokú főpolinomok egyértelműen előálló szorzatára bontjuk:
 
  1. A   törtet a   faktorainak megfelelő parciális törtek összegére bontjuk fel:
     
     
                   
       
    A parciális törtek   együtthatói a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával számíthatók ki.
  2. A parciális törtekre bontott kifejezést tagonként integráljuk a következő összefüggések alapján:
    •  
    •  
    •  
    •  
      Az utolsó integrandus nevezőjében lévő másodfokú polinomot pedig teljes négyzetté alakítva, a megfelelő helyettesítéssel az integrál   alakúra hozható, amelyet a következő redukciós formula segítségével számíthatunk ki:
       

Trigonometrikus függvények integrálása

szerkesztés

Trigonometrikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett   racionális kifejezések integrálása a   helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből  ;   és   adódik.

Exponenciális függvények integrálása

szerkesztés

Az exponenciális függvényből és valós számokból a négy alapművelettel képzett   racionális kifejezések integrálása a   helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből   adódik.

Hiperbolikus függvények integrálása

szerkesztés

Hiperbolikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett   racionális kifejezések integrálása a   helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből  ;   és   adódik.

Minthogy azonban a hiperbolikus függvények voltaképpen speciális exponenciális függvények, az exponenciális függvények integrálási módszere is alkalmazható rájuk.

Irracionális függvények integrálása

szerkesztés

A négy alapműveleten kívül gyökvonást vagy törtkitevőt is tartalmazó irracionális kifejezések integrálása a megfelelő helyettesítéssel sok esetben szintén visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. A legfontosabb esetek a következők:

  •   alakú kifejezés integrálása   helyettesítéssel;
  •   alakú kifejezés integrálása   helyettesítéssel;
  •   alakú kifejezés integrálása   esetén  , illetve   esetén   helyettesítéssel;
  •   alakú kifejezés integrálása   helyettesítéssel, ahol   a kitevők   nevezőinek legkisebb közös többszöröse.

Az Euler-féle helyettesítések

szerkesztés

  alakú irracionális kifejezések integrálása a következő helyettesítések valamelyikével általában visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására:

  •  ;
  •  ;
  •   ahol   az   polinom valós gyöke.

A határozott integrál alkalmazásai

szerkesztés

Területszámítás

szerkesztés

Görbe alatti terület

szerkesztés

Az   határozott integrál geometriai jelentése: az  ,  ,   egyenesek és az   függvénygörbe által határolt síkidom előjeles területe (abban az értelemben, hogy az x tengely alá eső területrészt az integrál negatív előjellel számolja). Ebből következik, hogy az   és   függvénygörbék, valamint az   és   egyenesek által határolt síkidom területe:

 

Az  ,  ,   paraméteres alakban megadott görbe alatti terület:

 

Szektorterület

szerkesztés

Az  ,  ,   paraméteres alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

 

Az  ,   polárkoordinátás alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

 

Ívhosszszámítás

szerkesztés

Ha az   függvény az   intervallumon differenciálható, és   ugyanitt folytonos, akkor a függvénygörbe hosszúsága az adott intervallumon:

 

Az  ,  ,   paraméteres alakban megadott folytonos ív hossza:

 

Az  ,   polárkoordinátás alakban megadott folytonos ív hossza:

 

Térfogatszámítás

szerkesztés

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos   függvény írja le, akkor a forgástestnek a tengely   szakaszára eső térfogata:

 

Az  ,  ,   paraméteres alakban megadott folytonos ív x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata:

 

Felszínszámítás

szerkesztés

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos   függvény írja le, akkor a tengely   szakasza körüli palást felszíne:

 

Az  ,  ,   paraméteres alakban megadott folytonos ív x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest palástjának felszíne:

 

Súlypontszámítás

szerkesztés

Az   függvénygörbe a és b abszcisszájú pontok által határolt ívének a súlypontja:

 

Ugyanezen ív alatti lemez súlypontja:

 

Az ívet az x tengely körül megforgatva, a kapott forgástest súlypontjának abszcisszája pedig: