Hilbert-tér

A Hilbert-tér a modern matematika fontos fogalma: olyan skalárszorzatos vektortér, amely teljes a skalárszorzat által definiált normára nézve. A Hilbert-tereket a funkcionálanalízis tanulmányozza. A Hilbert-térnek alapvető jelentősége van a kvantummechanika megalapozásában, jóllehet a kvantummechanika sok alapvető tulajdonsága megérthető a Hilbert-terek mélyebb megértése nélkül.

Szerkezetét egyértelműen meghatározza a Hilbert-dimenziója. Ez tetszőleges kardinális szám lehet. Ha a dimenzió véges, akkor euklideszi vektortérről van szó. Sok területen, például a kvantummechanikában a megszámlálhatóan végtelen dimenziós Hilbert-teret használják. A Hilbert-tér egy eleme megadható a dimenziónak megfelelő számú valós, vagy komplex koordinátával. A vektorterekhez hasonlóan, ahol egy Hamel-bázisban megadott koordináták véges kivétellel nullák, egy Hilbert-tér ortonormált bázisában csak megszámlálható sok koordináta különbözhet nullától, és a koordináták négyzetesen összegezhetők.

Bevezetés

David Hilbert

A Hilbert-teret David Hilbertről nevezték el, aki az integrálegyenletekkel kapcsolatban tanulmányozta azokat. Az elnevezés eredete „der abstrakte Hilbertsche Raum” Neumann Jánostól származik, a nemkorlátos hermitikus operátorokról szóló 1929-es híres cikkéből. Neumann volt talán az a matematikus, aki legtisztábban látta a jelentőségét, annak a megtermékenyítően ható munkájának következtében, mellyel a kvantummechanikát szilárd alapokra helyezte. A „Hilbert-tér” elnevezést hamarosan mások is elfogadták, például Hermann Weyl az 1931-ben publikált A csoportok és a kvantummechanika elmélete (The Theory of Groups and Quantum Mechanics) című könyvében.

Az absztrakt Hilbert-tér elemeit „vektoroknak” nevezik. A kvantummechanikában például egy fizikai rendszert egy „hullámfüggvényekből” álló komplex Hilbert-tér ír le, mely hullámfüggvények a rendszer egyes állapotait írják le, a hullámfüggvények egy L-2-tér elemei a kvantummechanika modern megfogalmazásában. A kvantummechanikában gyakran használt síkhullámok és kötött állapotok Hilbert-terére a formálisabb kifeszített Hilbert-tér néven hivatkoznak.

Definíció

A H vektorteret a T test (valós vagy komplex számtest) feletti Hilbert-térnek nevezzük, ha értelmezve van rajta egy Hermite-féle alak (belső szorzat), amely egy teljes normált teret indukál.

Azaz létezik egy leképzés: $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon H\times H\to T$, amely minden $H$-beli $x$, $y$, $z$-re és minden $T$-beli $\lambda$-ra a következőket teljesíti:

1. $\langle {x},{x}\rangle \geq 0$ (nemnegatív);
2. $\langle {x},{x}\rangle =0\Leftrightarrow {x}={0}$ (definit);
3. $\langle {x},{y}\rangle ={\overline {\langle {y},{x}\rangle }}$ (hermitikus);
4. $\langle {x},\lambda {y}\rangle =\lambda \langle {x},{y}\rangle$ és $\langle {x},{y}+{z}\rangle =\langle {x},{y}\rangle +\langle {x},{z}\rangle$ (lineáris a második argumentumban).

Minden, az előbbi tulajdonságokat teljesítő, belső szorzatos térben értelmezhető egy ||.|| norma következőképpen:

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$.

H Hilbert-tér, ha H erre a normára nézve teljes, azaz minden H-beli Cauchy-sorozat konvergál.

Megjegyzések:

• Ebben a definícióban a skaláris szorzat a második argumentumban lineáris, az elsőben C-antilineáris, ez fordítva is működne, illetve használják is.
• Ha egy Hermite-féle alak értelmezve van a komplex vektortéren, akkor unitér térről beszélünk, valós esetben euklideszi vektortérről.
• Mivel minden Hilbert-tér unitér vagy euklideszi, érvényes benne a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség és a paralelogrammaazonosság, valamint a Bessel-egyenlőtlenség és a Pitagorasz-tétel.
• A 3. tulajdonságban a felülvonás a komplex konjugálást jelöli, valós esetben a 3. tulajdonság a skaláris szorzat szimmetriája.
• Vegyük észre, hogy a norma definíciójában a gyök a norma homogenitása miatt szükséges.

Ortogonalitás

Két vektort $x,y\in H$ ortogonálisnak mondunk, ha $\langle {x},{y}\rangle =0$, gyakori jelölés: $x\perp y$.

Egy S halmazt H-beli ortogonális rendszernek nevezünk, ha $S\subset H$, és $\forall x,y\in S,x\neq y:\langle {x},{y}\rangle =0$.

Egy S halmazt H-beli ortonormált rendszernek nevezünk, ha $S\subset H$, és $\forall x_{i},x_{j}\in S:\langle {x_{i}},{x_{j}}\rangle =\delta _{ij}$.

Egy véges $S=\{x_{n}|n=1,2,...,N\}$ ortonormált rendszerre érvényes a Pitagorasz-tétel és a Bessel-egyenlőtlenség (mint minden belső szorzatos térben). Azaz minden x-re H-ban:

Pitagorasz:

$||x||^{2}=\sum _{n=1}^{N}|\langle {x_{n}},{x}\rangle |^{2}+||x-\sum _{n=1}^{N}\langle {x_{n}},{x}\rangle x_{n}||$

Bessel:

$||x||^{2}\geq \sum _{n=1}^{N}|\langle {x_{n}},{x}\rangle |^{2}$

Projekció tétel

Definíció: Legyen $S\subset H$, ekkor definiáljuk S ortogonális komplementerét:

$S^{\bot }:=\{x\in H|\langle {x},{y}\rangle =0\quad \forall y\in S\}$.

Tétel: Legyen H egy Hilbert-tér, M pedig egy zárt altér H-ban. Ekkor $H=M\oplus M^{\bot }$

Riesz reprezentációs tétel

Definíció (duális tér): Egy H Hilbert-tér H* duális terén, a H-n értelmezett folytonos lineáris funkcionálok Banach-terét értjük, azaz

$H^{*}:=\{T:H\rightarrow \mathbb {C} \quad |\quad T\quad {\mbox{lineáris és folytonos}}\}$

a folytonosság (mivel normált terek közötti lineáris leképzésről van szó) egyenértékű a leképzés operátornorma szerinti korlátosságával, azaz egy $T:H\rightarrow \mathbb {C}$ lineáris függvényre igaz:

$T\quad {\mbox{folytonos}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad ||T||<\infty$

$||T||:=\sup\{{\frac {|Tx|}{||x||}}\ |\quad x\neq 0,\quad x\in H\}$

Tétel (Riesz reprezentáció): Minden $T\in H^{*}$-hez létezik pontosan egy $y_{T}\in H$, úgy hogy $T(x)=\langle {y_{T}},{x}\rangle$ minden x-re H-ban, és
$||y_{T}||=||T||$.

Vagyis a tétel azt mondja ki, hogy H duális tere egy Hilbert-tér, amely izometrikusan izomorf H-hoz. Ez az egyik leglényegesebb tulajdonsága a Hilbert-tereknek, és ez a tulajdonság különbözteti meg őket nagyban az általánosabb Banach-terektől.

Ezen tétel felhasználásával vezetik be a fizikusok a bra-ket írásmódot, mely a Hilbert-tér elemeit $|x\rangle$ módon jelöli, és ket-vektoroknak nevezi őket, a duálvektorokat pedig $\langle x|$ módon, melyeket bra-vektoroknak nevez. Két vektor skaláris szorzata, pedig a duálvektor hattatása a vektorra: $\langle y|(|x\rangle )=\langle {y}|{x}\rangle =\langle {y},{x}\rangle$, azaz a duálvektort a vektor mellé írjuk, így a bra és a ket vektor képzi nyelvi humorral a bracket-et, azaz a skaláris szorzat jelölésére használt zárójelet.

Bázis

Definíció: A H Hilbert-tér egy maximális ortonormált rendszerét ortonormált bázisnak nevezzük. Azaz $B\subset H$ egy ortonormált bázis, ha B ortonormált rendszer, és B bármely $x\in H$-val való bővítés után, már nem ortonormált rendszer.

A Zorn-lemma (illetve a kiválasztási axióma) használatával megmutatható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.

Ha y egy H Hilbert-térbéli vektor és $B=\{x_{i}\in H:i\in I\}$ egy ortonormált bázisa H-nak, ahol I egy tetszőleges indexhalmaz, akkor:

$y=\sum _{i\in I}\langle {x_{i}},{y}\rangle x_{i}$, ahol $\langle {x_{i}},{y}\rangle$ csak megszámlálható sok $i\in I$-re nem nulla, és az összegzés független a sorrendtől. y kifejezése bázisvektorok soraként egyértelmű. Továbbá:

$||y||^{2}=\sum _{i\in I}|\langle {x_{i}},{y}\rangle |^{2}$ (Parseval tétel).

Megjegyzések

Minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is (de fordítva nem igaz).
Minden L-2 tér egy Hilbert-tér.

Minden véges dimenziós belső szorzattal rendelkező tér (mint az Euklideszi-tér a szokásos skalárszorzattal) Hilbert-teret alkot. Valójában a végtelen dimenziós terek jelentősége az alkalmazások területén sokkal nagyobb. Pár példa ezekre:

• Az unitér csoportreprezentációk elmélete
• A négyzetesen integrálható sztochasztikus folyamatok
• A parciális differenciálegyenletek Hilbert-tér elmélete, különösen a Dirichlet-probléma megfogalmazásai
• A függvények spektrális analízise, beleértve a waveleteket
• A kvantummechanika matematikai megfogalmazásai

A belső szorzat teszi lehetővé a „geometriai” látásmód megőrzését, és a véges dimenziós terekben megszokott geometriai nyelvezet használatát. Az összes végtelen dimenziós topologikus vektortér közül a Hilbert-terek a „legjobban viselkedőek” és ezek állnak legközelebb a véges dimenziós terekhez.

A Fourier-analízis egyik célja, hogy egy adott függvényt adott alapfüggvények kombinációjaként írjunk fel, azaz olyan (esetleg végtelen) összegként, melyben az alapfüggvények többszörösei a tagok. Ez a probléma absztrakt módon vizsgálható Hilbert-terekben: minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa, és a Hilbert-tér minden eleme egyféleképp írható fel a báziselemek kombinációjaként, azaz olyan összegként, melyben a bázisvektorok többszörösei (skalárszorosai) szerepelnek.

Ajánlott irodalom

• Reed-Simon, Methods of modern mathematical physics, 1. volume: Functional Analysis, Academic Press, INC.